어떤 실수도 아래의 방정식을 만족시킬 수 없다.
$$x^2 =-1$$
수학자들은 방정식의 해를 구하기 위해 수 체계를 확장해 왔다. 위에 있는 방정식도 해를 구할 필요가 있다. 제곱해서 음수가 되는 새로운 수를 만들기 위해 $\sqrt{-1}$을 생각할 수 있다. 제곱근으로 표현할 때 생기는 혼란을 막기 위해 오일러 이후로 문자 $i$로 허수(imaginary number)단위를 표현한다.
$$i=\sqrt{-1}$$
고대 그리스의 수학자 헤론은 거듭제곱하여 음수가 되는 수에 대한 개념을 기록한 바 있다. 1572년 이탈리아의 수학자 라파엘 봄벨리가 허수 단위를 정의하였다. 삼차방정식의 근의 공식을 찾아낸 게로라모 카르다노(Gerolamo Cardano)의 책에 개념이 등장한다.
이후 르네 데카르트가 《방법서설》의 부록 〈기하〉(프랑스어: La Géométrie)에서 상상의 수(imaginary numbers)라고 부른 데에서 허수라는 이름이 정착되었다. 허수라는 이름은 레온하르트 오일러와 카를 프리드리히 가우스에 의해 널리 알려졌다.
오일러는 페르마의 마지막 정리를 증명하기 위해 힘썼다.
$$\displaystyle x^{3}+y^{3}=z^{3}$$
위 방정식을 만족하는 정수해는 없다는 것을 증명할 때 허수를 사용하였다.
1799년 카스파르 베셀이 복소수의 기하학적 표현을 완성하였다.
1843년 윌리엄 로언 해밀턴은 복소수를 확장하여 사원수 체계를 만들었다.
