수체계6 복소수 복소수(complex number)는 실수 $a,\;\;b$에 대하여 $a+b i$의 꼴로 나타낼 수 있는 수이다. (단, $i^2 =-1$) $i$는 허수단위로 보통 $i=\sqrt{-1}$로 나타내기도 한다. $a$는 실수부(real part), $b$는 허수부(imaginary part)로 부른다. $b=0$일 수 있으므로 모든 실수는 복소수이다. $a=0$인 복소수는 순허수라고 부른다. 실수를 모두 포함하고 있지만 실수와는 차원이 다른 수이다. 2차원 벡터와 같다. 복소평면은 뭔가 멋진 일이 일어나는 공간이 된다. 2022. 12. 8. 무리수 무리수(irrational number)는 이름 그대로 유리수가 아닌 수이다. 유리수는 정수와 정수의 비(ratio)로 나타낼 수 있는 수이다. 유리수를 유비수로 옮겨야 한다는 주장도 있다. 소수로 표현했을 때, 유리수는 유한소수나 순환소수로 나타나고 무리수는 순환하지 않는 무한소수로 나타난다. $\sqrt 2$가 가장 유명한 무리수가 아닐까 싶다. $\sqrt 2$가 무리수임을 밝히는 과정을 가장 아름다운 증명 가운데 하나로 꼽는다. $\sqrt 2$가 무리수가 아니라고 가정하자. $\sqrt 2=p/q$인 서로소인 두 정수 $p, q(\not=0)$가 존재한다. 양변을 제곱하여 정리하자. $$2q^2=p^2\tag{1}$$ $p^2$이 2의 배수이므로 $p$는 2의 배수이다. 따라서 $p=2k$인 정.. 2022. 12. 8. 실수 실수(real number)는 유리수와 무리수로 이루어진 수 체계이다. 실제로 우리가 쓰는 대부분의 물리량(길이, 넓이, 부피, 질량, 속도, 가속도)을 나타낼 수 있는 수이다. 수학 공부는 실수체를 이해하는 것에서 출발한다. 2022. 12. 8. 유리수 유리수(rational number)는 정수와 정수의 비로 나타낼 수 있는 수이다. 아래와 같이 표현할 수 있다. 임의의 정수 $a,\;\;b$ ( $b\not=0$)에 대하여 $\displaystyle{\frac{a}{b}}$꼴로 나타낼 수 있는 수는 유리수이다. 소수로 표현한다면 유한소수 또는 순환하는 무한소수로 나타난다. $$0.3=\frac{3}{10},\;\;0.444\cdots=0.\dot{4}=\frac{4}{9}$$ 비(ratio)로 나타낼 수 있다는 걸 강조하기 위해 유리수가 아니라 유비수로 불러야 한다는 주장도 있다. 합리적인(rational) 것은 정수들의 비로 나타낼 수 있어야 한다. 수학에서 주로 quotient의 머리글자를 따서 $\mathbb{Q}$로 나타낸다. 아무래도 $\m.. 2022. 12. 8. 정수 정수(integer)는 양의 정수, 0, 음의 정수로 이루어진 수 체계다. 정수를 한자로 쓰면 가지런한 수(整數)이다. 양의 정수는 자연수와 같다. 영어로는 integer이지만 독일어로 정수인 Zahl의 머리글자를 따서 $\mathbb{Z}$로 적는다. 인도와 중국 그리고 아랍에서는 일찌감치 음수를 수로 받아들였지만 유럽에서 수로 받아들이는데 상당한 세월이 필요했다. 데카르트가 음수를 좌표에 나타내기 시작하면서 수로 자리 잡았다. 2022. 12. 8. 자연수 자연수(natural number)는 개수를 셀 때 사용하는 수이다. 이름 그대로 원래부터 스스로 존재하는 수라고 생각하면 쉽다. 하지만 현대 수학은 자연수도 그대로 놓아두지 않는다. 페아노(Giuseppe Peano: 1858.8.27.~1932.4.20.)는 아래와 같은 공리(Peano's axioms)로써 자연수를 정의하였다. 아래를 모두 만족하는 집합 $\mathbb{N}$은 자연수의 집합이다. $\mathbb{N}$은 특별한 한 원소인 $1$을 원소로 가진다. ($1\in \mathbb{N}$) $\mathbb{N}$의 임의의 원소 $n$에 대하여 $n$의 다음수(successor) $n^+$도 $\mathbb{N}$의 원소다. ($\forall n\in \mathbb{N}\Rightarrow .. 2022. 12. 8. 이전 1 다음
