무리수(irrational number)는 이름 그대로 유리수가 아닌 수이다. 유리수는 정수와 정수의 비(ratio)로 나타낼 수 있는 수이다. 유리수를 유비수로 옮겨야 한다는 주장도 있다. 소수로 표현했을 때, 유리수는 유한소수나 순환소수로 나타나고 무리수는 순환하지 않는 무한소수로 나타난다.
$\sqrt 2$가 가장 유명한 무리수가 아닐까 싶다. $\sqrt 2$가 무리수임을 밝히는 과정을 가장 아름다운 증명 가운데 하나로 꼽는다.
$\sqrt 2$가 무리수가 아니라고 가정하자.
$\sqrt 2=p/q$인 서로소인 두 정수 $p, q(\not=0)$가 존재한다.
양변을 제곱하여 정리하자.
$$2q^2=p^2\tag{1}$$
$p^2$이 2의 배수이므로 $p$는 2의 배수이다. 따라서 $p=2k$인 정수 $k$가 존재한다.
(1)에 대입하여 정리하자.
$$2q^2=4k^2\Rightarrow q^2=2k^2$$
$q$도 2의 배수이다. 이것은 $p, q$가 서로소라는 가정에 모순이다.
따라서 $\sqrt 2$는 무리수이다.
$\blacksquare$
아래와 같은 멋진 무리수가 있다.
$$\pi=3.141592653589793238\cdots$$
$$e=2.71828182845904523536\cdots$$
