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수학사전/가13

거듭제곱 급수 급수가 수렴하는가를 판정하는 여러 가지 방법을 배웠다. 이를 바탕으로 이제 거듭제곱 급수를 정리해 보자. 한자로 거듭제곱은 멱冪으로 적는다. 조금 옛날식 이름인 멱급수(冪級數)로 부르는 책도 있다. 다항함수는 미적분으로 다루기 매우 쉬운 함수다. 어떤 함수 $f(x)$가 주어졌을 때, 함수 $f(x)$로 수렴하는 거듭제곱 급수를 찾는다면 많은 문제가 저절로 해결된다. 가장 널리 쓰이는 거듭제곱 급수는 테일러급수다. 2023. 1. 19.
극한 1. 수열의 극한 수열 $\{a_n\}$에서 $n$이 한없이 커질 때, $a_n$의 값이 일정한 수 $L$에 한없이 가까워지면 수열 $\{a_n\}$은 $L$로 수렴한다고 한다. $L$은 극한값이다. 기호로는 아래와 같이 적는다. $$\lim_{n\rightarrow \infty}a_n=L$$ 또는 $$n\rightarrow\infty일\;\;때,\;\; a_n\rightarrow L$$ 엄밀한 정의 $\forall \epsilon >0$에 대하여 다음을 만족하는 자연수 $N(\epsilon)$이 항상 존재한다. $$\forall n>N(\epsilon)\;\;\Rightarrow \;\;|a_n -L|0$에 대하여 다음을 만족하는 양수 $\delta>0$가 항상 존재한다. $$\forall x\in:\.. 2023. 1. 4.
군 집합 G에서 정의된 연산 $\cdot$이 아래를 공리를 만족하면 집합 G는 연산 $\cdot$에 대하여 군(群: group)을 이룬다고 말한다. 군 $(G, \cdot )$로 적는다. 결합법칙 Associativity 모든 $a,b,c \in G$에 대하여 $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$를 만족한다. 항등원 Identity element 모든 $a\in G$에 대하여 $a\cdot e=e \cdot a=a$를 만족하는 원소 $e \in G$가 존재한다. 역원 Inverse element 모든 $a \in G$에 대하여 $a\cdot b=b\cdot a =e$를 만족하는 $ b \in G$가 존재한다. 교환법칙까지 된다면 교환군(commutative group) 또는 아.. 2023. 1. 1.
꼭짓점 1. 각에서 두 반직선이 만나는 점 또는 평면 도형에서 두 변이 만나는 점 2. 공간도형에서는 셋 이상의 변이 만나는 점 3. 이산수학의 그래프에서 변이 만나는 점 꼭짓점 1과 2는 vertex를 번역한 것이지만, 그래프의 꼭지점인 3은 node를 번역한 것이다. vertex에는 '정점, 절정'의 뜻이 있다. 그래서 vertex를 '頂點'으로 번역한 것이다. 한편, node에는 '마디, 결절'의 뜻이 있다. 그래프에서는 각 점에 의해 선으로 된 마디가 이루어지므로 마디를 나타낸다는 의미에서 vertex 대신 node를 사용하기도 한다. 頂에는 '꼭대기'라는 뜻이 있다. 따라서 頂點은 '꼭대기에 있는 점'을 의미한다. 일상적으로 頂點은 '맨 꼭대기가 되는 곳'을 의미하는데 이것을 한글 용어로 바꾸면서 '꼭.. 2022. 12. 18.
교집합 두 집합에 공통으로 속하는 원소들의 집합을 교집합(intersection)이라고 한다. $$A\cap B=\{x| x\in A \quad 그리고\quad x\in B\}$$ 2022. 12. 18.
그래프 함수의 그래프(graph)는 함수 $f:X\rightarrow Y$에서 점 $(x,f(x))$으로 이루어진 집합이다. $$G=\{(x,f(x))|\forall x \in X\}$$ 이산수학에서는 아래와 같이 관계를 꼭짓점(vertices 또는 nodes, points)과 변(edge 또는 link, line)으로 나타낸 그림이다. 2022. 12. 14.
극 좌표계 평면 위 점을 하나 골라 극(pole) 또는 원점(origin)으로 부르고 $O$로 적는다. $O$를 시작점으로 하는 반직선을 그리고 극축(Polor axis)으로 부르자. 보통 데카르트 좌표계에서 $x$축 양의 방향을 극축으로 잡는다. 이제 점 $P$가 극(원점)과 떨어진 거리 $|\overrightarrow{OP}|=r$과 $\overrightarrow{OP}$이 극축과 이루는 각(radian) $\theta$의 순서쌍 $(r,\theta)$으로 나타내고 이를 극 좌표(Polar coordinate)라고 한다. $r=0$이면 $\theta$값에 관계없이 원점을 나타낸다. 이제 의미를 넓혀서 $r0$일 때, $(-r,\theta)$는 $(r,\theta)$를 원점에 대하여 대칭이동한 점으로 생각하자. .. 2022. 12. 10.
공역 두 집합 $X$, $Y$에서 함수 $f:X\rightarrow Y$가 있다면 $Y$가 공역(codomain)이다. 한편 함수가 정의되는 집합인 $X$는 정의역(domain)이고 함숫값의 집합 $R=\{f(x)| x\in X\}$은 치역(range)이다. 정의역: $X=\{1,\,2,\,3\}$, 공역: $Y=\{D,\,B,\,C,\,A\}$, 치역: $R=\{D,\,C\}$ 2022. 12. 7.
공리 '삼각형의 내각의 합은 180도이다.'는 참인 명제다. 이 명제가 참임을 증명하려면 '평행한 두 직선과 다른 한 직선이 만날 때 생기는 엇각과 동위각이 서로 같다.'는 명제가 참이라야 한다. 엇각과 동위각은 왜 같아야 하는가? 평행선이란 무엇인가? 이처럼 거슬러 올라가다 보면 처음 출발이 되는 명제를 만난다. 아래는 수학사에서 가장 유명한 유클리드의 다섯 번째 공준인 평행선 공준이다. 두 직선과 한 직선이 만날 때 있는 두 직선을 한없이 늘리면 같은 쪽에 있는 내각을 더해서 직각 둘(180도)보다 작은 쪽에서 만난다. 이런 명제는 증명없이 스스로 참이라고 인정해야 한다. 공리(axiom)는 증명없이 스스로 참이라고 받아들여야 하는 명제다. 유클리드 '원론' 이후로 수학자들은 늘 엄밀함을 추구하였다. 그래.. 2022. 12. 7.
거듭제곱 제곱은 '저의 곱'을 줄인 말로 같은 수를 두 번 곱하는 것이다. 거듭제곱은 같은 수를 두 번 이상 되풀이하여 곱하는 것을 간단하게 표현하는 것이다. 이때 곱해지는 수를 밑으로 곱해진 개수를 지수로 써서 표현한다. $$2\times 2\times 2=2^3$$ 데카르트가 처음으로 어떤 수 $a$의 거듭제곱을 밑과 지수를 써서 $a^2, \;a^3 ,\; a^4,\cdots$로 표기하였다. 문화어로는 어깨수이다. 영어: 지수(exponentiation) 2022. 12. 7.
각뿔 각뿔은 다각형인 밑면(base)과 꼭대기점(apex)을 연결한 다면체이다. 아래 그림은 사각뿔이다. 꼭대기점에서 밑면에 내린 수선의 발이 밑면의 무게중심(centroid)이면 정각뿔(right pyramid)이고 아니면 빗각뿔(oblique pyramid)이다. 밑면이 정다각형인 정각뿔을 정다각뿔(regular pyramid)라고 부른다. 각뿔대(frustum: 라틴어 조각에서 온 말)는 각뿔을 평행한 두 평면으로 잘라서 만든다. https://en.wikipedia.org/wiki/Frustum Frustum - Wikipedia From Wikipedia, the free encyclopedia Jump to navigation Jump to search Portion of a solid that l.. 2022. 12. 6.
각 각(angle)은 한 점에서 시작하는 두 반직선으로 이루어진 도형이다. 이때 공통된 점은 각의 꼭짓점, 두 반직선은 각의 변이라고 부른다. 아래 그림과 같은 도형을 각 $AOB$라고 한다. 기호로는 $\angle AOB$ 또는 $\angle O$로 쓴다. 점 $O$는 각의 꼭짓점(vertex)이고 두 반직선 $OA$와 $OB$는 각의 변(side)이다. 두 각이 포개어 일치하면 '크기가 같다.' 또는 '합동' 이라 한다. 각의 크기는 변의 길이와 무관하다. 두 직선이 만날 때는 각이 네 개가 생긴다. 이들을 교각이라 한다. 이때 마주 보는 각은 맞꼭지각(pair of vertical angles)이라고 한다. 맞꼭지각은 서로 같다. 이웃하는 각이 같을 수도 있다. 두 직선이 만날 때, 이웃하는 각이 서로.. 2022. 12. 6.
가분수 전체인 1을 나눈 양을 나타내기 위해 분수를 쓰기 시작했다. 따라서 분수는 0보다는 크고 1보다는 작은 것이 이치에 맞다. 하지만 널리 쓰이다 보면 개념은 확장되기 마련이다. 분수도 마찬가지다. $$\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}$$ 위와 같은 수도 나타낼 필요가 있다. 1보다 작은 분수는 진분수(진짜분수)로 1보다 큰 분수를 가분수(improper fraction)라고 한다. $$\frac{5}{3}$$ 수학에서 improper는 주로 '이상'으로 옮긴다. 예를 들면 'improper integral'은 '이상적분'으로 옮긴다. https://suhak.tistory.com/1478 분수의 역사 어린 시절 수를 처음 배울 때, .. 2022. 12. 6.

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