'삼각형의 내각의 합은 180도이다.'는 참인 명제다. 이 명제가 참임을 증명하려면 '평행한 두 직선과 다른 한 직선이 만날 때 생기는 엇각과 동위각이 서로 같다.'는 명제가 참이라야 한다.
엇각과 동위각은 왜 같아야 하는가? 평행선이란 무엇인가? 이처럼 거슬러 올라가다 보면 처음 출발이 되는 명제를 만난다. 아래는 수학사에서 가장 유명한 유클리드의 다섯 번째 공준인 평행선 공준이다.
두 직선과 한 직선이 만날 때 있는 두 직선을 한없이 늘리면 같은 쪽에 있는 내각을 더해서 직각 둘(180도)보다 작은 쪽에서 만난다.
이런 명제는 증명없이 스스로 참이라고 인정해야 한다. 공리(axiom)는 증명없이 스스로 참이라고 받아들여야 하는 명제다.
유클리드 '원론' 이후로 수학자들은 늘 엄밀함을 추구하였다. 그래서 현대수학은 이전에 성취한 결과를 엄밀한 공리계 위에 새로이 튼튼하게 다시 세웠다. 예를 들면 자연수도 '페아노 공리'라는 이름으로 새롭게 정의한다.
힐베르트 공리(Hilbert’s axioms)
이글은 위키피디아 힐베르트 공리를 우리말로 옮긴 것입니다. 유클리드 ‘원론’은 오랫동안 가장 모범적인 수학 교과서였다. 그러나 완벽한 것은 없는 법 훗날 ‘극한’ 개념이 확립되면서 부
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영어: Postulates 또는 axiom
