수학사전/마12 맞꼭지각 두 직선이 만나면 각이 4개 만들어진다. 이를 교각(angle of intersection)이라고 한다. 포물선이나 원 등의 곡선이 만나서 생기는 교각은 교점을 지나는 접선이 이루는 각으로 정의한다. 교각 가운데 서로 마주 보는 각을 맞꼭지각(vertical angles)으로 이웃한 각을 이웃각 또는 인접각(adjacent angles)으로 부른다. 각 b는 각 a의 이웃각이고, 각 a는 각 b의 이웃각이다. 이웃각은 '꼭짓점과 한 변을 공유하는 각'이다. 두 직선이 만날 때, 이웃하는 두 교각의 크기를 더하면 180도이다. 합이 180도인 각은 서로 보각(supplementary angle)이라고 부른다.(참고: 합이 90도이면 서로 여각(complementary angle)이다.) $$a+b=b+c=.. 2024. 1. 28. 미분방정식 알려지지 않은 함수와 그들의 도함수 사이의 관계를 나타내는 방정식. 미지의 함수가 일변수 함수이면 평범한 미분항만을 포함한 상미분방정식(常微分方程式, Ordinary Differential Equation; ODE)이 되고, 미지의 함수가 두 개 이상의 변수를 갖는 다변수 함수이고 편미분항들이 등장하면 편미분방정식(偏微分方程式, Partial Differential Equation; PDE)이라고 한다. $$y+2xy^{\prime}+1=0\tag{1}$$ $$\frac{\partial^2u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2u}{\partial y^2} = 0\tag{2}$$ (1)은 상미분방정식, (2)는 편미분방정식이다. 2023. 1. 2. 메르센 소수 메르센은 소수를 찾는 유용한 방법을 찾는다. 먼저 소수는 아래와 같은 꼴일 것으로 추측했다. $$M(n)=2^n-1$$ 이 수를 메르센 수(Mersenne numbers)라고 한다. 메르센 수 $M(n)$이 소수이면 $n$은 소수이다. 하지만 역은 성립하지 않는다. $n$이 소수라고 해도 $M(n)$이 소수인 것은 아니다. 더보기 $n=pq$이면 $M(ab)$는 합성수임을 보이자. 메르센 수는 이항정리로 나타낼 수 있다. $$M(n)=\sum_{k=0}^n \pmatrix{n\\k}-1$$ 이항정리를 이용하여 인수분해를 하면 아래와 같다. $$\begin{split}a^n-b^n &=a^n+\sum_{k=1}^{n-1}a^{k} b^{n-k}-\sum_{k=1}^{n-1} a^k b^{n-k} - b^n.. 2022. 12. 26. 밑 1. 거듭제곱으로 표현했을 때 지수 아래에 쓰는 곱해지는 수. $a^n$에서 $a$는 밑(base)이고 $n$은 지수(exponent 또는 power). 영어로 읽는 법: "$a$ raised to the power of $n$", "$a$ to the $n$-th power" 2. 로그에서 아래에 쓰는 수. $\log_{a} N$에서 $a$는 밑, $N$은 진수(anti-logarithm). '$a$를 밑으로 하는 $N$의 로그'라고 읽어야 하지만 보통 '로그 에이의 엔'처럼 읽는 이가 많다. 영어로 읽는 법: "the logarithm of $N$ to base $a$", "the base-b logarithm of x", "the log, base b, of x" 3. 십진법이나 이진법으로 수를 나.. 2022. 12. 19. 미분 $a$와 미분계수 $f ' (a)$ 사이 함수 다시 말하면 함수 $f ' : x \rightarrow f '(x)$를 함수 $f(x)$의 도함수(derivative of $f$)라고 한다. $$f ' (x) =\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(x+ h)-f(x)}{h}$$ 기호로 $ \displaystyle{f '(x) , \;y ' ,\; \frac{dy}{dx} ,\; \frac{d}{dx}f(x)}$로 적는다. 여러 가지 표현이 있는 까닭은 라이프니츠, 라그랑제, 뉴튼, 오일러가 각기 다른 표현을 썼기 때문이다. 도함수(derivative of $f$)를 구하는 것을 미분한다(diffentiation)고 하고 그 계산법을 미분법으로 부른다. ($dy$를 $dx$로 나눈 것처럼 보.. 2022. 12. 10. 미분계수 함수 $y=f(x)$에서 $x=a$일 때, 미분계수(derivative of f at $x=a$) 인 $f^{\prime} (a)$를 아래와 같이 정의한다. $$f ^{\prime}(a) =\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(a+ \Delta x)-f(a)}{\Delta x}$$ 2022. 12. 10. 마름모 마름모(rhombus)는 네 변의 길이가 모두 같은 사각형이다. 마름모는 아래와 같이 말할 수도 있다. 이웃하는 두 변의 길이가 같은 평행사변형이다. 대각선이 내각을 이등분하는 평행사변형이다. 대각선이 서로 직교하는 평행사변형이다. 대각선이 서로를 수직이등분하는 사각형이다. https://en.wikipedia.org/wiki/Rhombus Rhombus - Wikipedia From Wikipedia, the free encyclopedia Jump to navigation Jump to search Quadrilateral in which all sides have the same length The rhombus has a square as a special case, and is a special.. 2022. 12. 10. 무게중심 삼각형에서 세 중선은 한 점에서 만난다. 이 점을 무게중심(centroid)이라 하는데 꼭짓점으로부터 중선을 2:1로 나눈다. 질량 중심을 공부하면 더 쉽게 와닿는 말인데 중학생이라면 한참을 공부해야 한다. 넓이를 공평하게 나누는 점이라고 생각하면 좋다. 2022. 12. 9. 무한급수 아래와 같이 무한수열 $\{a_n\}$의 모든 항을 순서대로 합의 기호 ($+$)로 연결한 식을 무한급수(infinite series) 또는 간단히 급수(series)로 부른다. $$\sum_{n=1}^{\infty} a_n =a_1 +a_2 +a_3 +\cdots+a_n +\cdots$$ 무한급수 $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} a_n}$에서 첫째항부터 $n$째항까지 합 $$S_n =a_1+a_2 +a_3 +\cdots+a_n =\sum_{k=1}^{n} a_k$$ 을 부분합으로 부르는데 이 또한 수열이다. 이 수열 $\{S_n\}$이 일정한 상수 $S$로 수렴하면 무한급수는 $S$에 수렴한다고 하고 극한값 $S$를 무한급수의 합 으로 부른다. 정리하면 $$\display.. 2022. 12. 8. 무리수 무리수(irrational number)는 이름 그대로 유리수가 아닌 수이다. 유리수는 정수와 정수의 비(ratio)로 나타낼 수 있는 수이다. 유리수를 유비수로 옮겨야 한다는 주장도 있다. 소수로 표현했을 때, 유리수는 유한소수나 순환소수로 나타나고 무리수는 순환하지 않는 무한소수로 나타난다. $\sqrt 2$가 가장 유명한 무리수가 아닐까 싶다. $\sqrt 2$가 무리수임을 밝히는 과정을 가장 아름다운 증명 가운데 하나로 꼽는다. $\sqrt 2$가 무리수가 아니라고 가정하자. $\sqrt 2=p/q$인 서로소인 두 정수 $p, q(\not=0)$가 존재한다. 양변을 제곱하여 정리하자. $$2q^2=p^2\tag{1}$$ $p^2$이 2의 배수이므로 $p$는 2의 배수이다. 따라서 $p=2k$인 정.. 2022. 12. 8. 면 면(surface)은 길이와 폭 만을 가진 것이다. 선과 마찬가지로 면은 선이 옆으로 움직여간 것이라고 생각하면 좋겠다. 평면(plane surface)은 직선이 고르게 펼쳐진 것이다. 면의 모서리(edge)는 선이다. The edges of a surface are lines. 2022. 12. 7. 명제 명제(proposition)는 참과 거짓을 분명하게 구별할 수 있는 문장이나 식이다. 예를 들면 '삼각형의 내각을 모두 더하면 180도이다.'는 참인 명제이고 '이등변 삼각형은 세 각의 크기가 모두 같다.'는 거짓인 명제다. 어떤 명제가 참임을 보이기 위해서 이미 참임을 알고 있는 명제가 필요하다. 그런데 자꾸 거슬러 올라가다 보면 맨 처음 출발이 되는 참인 명제가 있어야 한다. 그 명제는 다른 명제로 증명하지 않고 그 자체로 참인 것으로 인정해야 한다. 그 스스로 참인 명제를 공리(axiom)라고 한다. 2022. 12. 7. 이전 1 다음
