아래와 같이 무한수열 $\{a_n\}$의 모든 항을 순서대로 합의 기호 ($+$)로 연결한 식을 무한급수(infinite series) 또는 간단히 급수(series)로 부른다.
$$\sum_{n=1}^{\infty} a_n =a_1 +a_2 +a_3 +\cdots+a_n +\cdots$$
무한급수 $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} a_n}$에서 첫째항부터 $n$째항까지 합
$$S_n =a_1+a_2 +a_3 +\cdots+a_n =\sum_{k=1}^{n} a_k$$
을 부분합으로 부르는데 이 또한 수열이다. 이 수열 $\{S_n\}$이 일정한 상수 $S$로 수렴하면 무한급수는 $S$에 수렴한다고 하고 극한값 $S$를 무한급수의 합 으로 부른다.
정리하면
$$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} a_n=a_1 +a_2 +a_3 +\cdots+a_n +\cdots=\lim_{n\rightarrow \infty }S_n =\lim_{n\rightarrow \infty }\sum_{k=1}^{n} a_k=S}$$
흔히 무한급수의 합을 무한히 더해 나온 값으로 말하는 이가 있는데 무한은 계속 커지고 있는 상태를 말하는데 무한히 더한다는 것은 올바른 표현이 아니다. 정의와 같이 부분합 수열이 수렴하는 값으로 생각해야 그 뜻이 또렷해진다.
$$\sum_{n=1}^{\infty}{(-1)^{n-1}}1+(-1)+1+(-1)+ \cdots+(-1)^{n-1} + \cdots$$
$\{1+(-1)\}+\{1+(-1)\}+ \cdots+\{(-1)^{n-1}\} + \cdots =0+0+\cdots=0$으로 생각하거나
$1+\{(-1)+1\}+\{(-1)+1\}+\cdots=1+0+0+\cdots=1$으로 생각하면 곤란하다.
무한급수의 합을 구하는 일은 수열의 극한값을 구하는 것과 같다. 어떤 수열은 합을 간단한 식으로 나타내기 어렵다. 이런 수열로 만든 무한급수는 수렴과 발산을 판단하기 매우 어렵다. 이를 해결하기 위해 무한급수의 수렴과 발산을 판단하는 여러 가지 판정법이 있다.
무한급수의 수렴, 발산 판정법
아래와 같이 무한수열 $\{a_n\}$의 모든 항을 순서대로 합의 기호 ($+$)로 연결한 식을 무한급수 또는 간단히 급수로 부른다. $$\sum_{n=1}^{\infty} a_n =a_1 +a_2 +a_3 +\cdots+a_n +\cdots$$ 무한급수 $\displaystyle{\sum
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