곡선10 리마콘 리마콘은 고정된 원과 길이가 같은 반지름을 가진 원이 접하면서 구를 때 구르는 원에 있는 점이 그리는 자취이다. 파스칼의 리마콘이나 파스칼의 달팽이라고도 부른다. 극방정식으로 나타내면 아래와 같다. 카디오이드도 나타난다. $$r=a+b\cos\theta$$ 1) $ab$ https://en.wikipedia.org/wiki/Lima%C3%A7on Limaçon - Wikipedia From Wikipedia, the free encyclopedia Type of roulette curve Construction of the limaçon r = 2 + cos(π – θ) with polar coordinates' origin at (x, y) = (1/2, 0) In geometry, a limaçon .. 2024. 2. 17. 데카르트의 타원 주어진 두 점 $S$와 $T$으로부터 점 $P$까지 거리가 각각 $s$, $t$일 때, 상수 $m,\;\;a$에 대하여 $s+mt=a$를 만족한다면 점 $P$의 자취는 아래와 같다. 이 곡선을 카테시안 타원(Cartesian oval)이나 데카르트의 타원이라 부른다. 방정식을 찾아보자. 두 점 $S(0,0),\;\;T(c,0)$이고 $P(x,y)$라고 하자. $$\sqrt{x^2 +y^2}+m\sqrt{(x-c)^2+y^2}=a\tag{1}$$ $$\sqrt{x^2 +y^2}-a= -m\sqrt{(x-c)^2+y^2} $$ 양변을 제곱하여 정리하자. $$x^2+y^2-2a\sqrt{x^2 +y^2}+a^2= m^2 \{(x-c)^2+y^2\} $$ $$ x^2+y^2 +a^2- m^2 \{(x-c)^2+.. 2024. 2. 16. 악마 곡선 악마 곡선(devil's curve)은 1750년 가브리엘 크래머(Gabriel Cramer: 1704-1752)와 1810년 라크로이스(Lacroix)가 연구했다. 1858년 Nouvelles Annalesin에 등장했다. 스위스 수학자인 크래머는 제네바에서 수학교수가 되었고 물리학 관련 연구를 저서로 했다. 그는 행렬식으로 널리 알려졌지만 대수 곡선 연구에도 기여하였다. 데카르트 방정식$$y^2(y^2-b^2)=x^2(x^2-a^2)\tag{1}$$ 극 방정식$$\displaystyle r={\sqrt {\frac {b^{2}\sin ^{2}\theta -a^{2}\cos ^{2}\theta }{\sin ^{2}\theta -\cos ^{2}\theta }}}={\sqrt {\frac {b^{2}-a.. 2024. 2. 7. 아스트로이드 아스트로이드(astroid)는 별 모양으로 생긴 곡선이다. 이 별 모양 곡선은 1691~92년에 요한 베르누이(Johann Bernoulli)가 처음으로 제시하였다. 1715년 라이프니츠의 서신에도 나타난다. 이것은 4개의 뾰족점을 가지고 있어서 때때로 사첨체라고 불린다. 아스트로이드라는 이름은 1836년에 비엔나에서 출판된 책에 등장한다. 아스트로이드는 1836년 이후에도 입방사이클로이드(cubocycloid)와 파라사이클(paracycle)을 포함하여 문헌에서 다양한 이름으로 알려졌다. 아스트로이드를 그리는 여러 가지 방법 원에 내접하는 원을 굴려서 그리기 반지름이 $1$인 원 안에 반지름이 $\displaystyle{\frac{1}{4}}$인 원이 내접하고 있다고 하자. 아래와 같이 내접하는 원을 .. 2024. 2. 5. 마녀 곡선 이탈리아 여성 수학자 아그네시 이름을 딴 곡선이 있다. 이 곡선은 witch of Agnesi로 불리는데 마녀라니 좀 그렇다. 마녀라는 이름은 잘못된 번역에서 비롯되었다고 한다. 아래 그림은 아그네시 생일을 기리는 구글 화면이다. 이 곡선을 매개변수 방정식으로 표현하면 $$x=2a\tan\theta, \;\; y=2a \cos^2 \theta$$이고, 데카르트 방정식으로 표현하면 $$y=\frac{8a^3}{x^2 +4a^2}$$입니다. $\displaystyle{x=\frac{1}{2}}$일 때는 우리가 자주 보는 그래프이다. 2024. 2. 4. 사이클로이드 사이클로이드란? 구르는 원 위에 있는 한 정점이 그리는 자취를 사이클로이드라고 부른다. 위키백과로 가기 그림에서 원점과 접해있던 반지름이 1인 원이 $x$축을 따라 $t$만큼 굴러갔을 때 원점과 접해있던 점이 $P$가 되었다고 하자. 점 $P$를 방정식으로 나타내면 $x=t-\sin t, \quad y=1-\cos t$이다. 2024. 2. 4. 하이포사이클로이드 하이포사이클로이드는 사이클로이드에서 한발 더 나간 곡선이다. 두 원이 있을 때 작은 원이 큰 원에 내접하면서 구른다고 하자. 이때 작은 원 위에 있는 한 정점이 그리는 자취가 하이포사이클로이드(hypocycloid)이다. 자취를 식으로 나타내 보자. 두 원의 반지름이 각각 $R,r(R>r)$이라고 하자. 작은 원이 큰 원에 접하면서 $\alpha$ 회전했을 때, 작은 원 중심은 큰 원의 중심을 중심으로 $\theta$ 회전했다고 하자. 원 위의 점은 $P(x(\theta),y(\theta))$라고 하고 시작은 $x(0)=R, y(0)=0$이라고 하자. $$r\alpha=R\theta$$ 이제 작은 원 중심 $A$를 지나고 $x$축과 평행한 직선과 $\overline{AP}$가 이루는 각을 $\phi$라고.. 2024. 2. 4. 에피사이클로이드 서로 외접하는 원이 있을 때 바깥에 있는 원이 안쪽에 있는 원과 접하면서 구른다고 하자. 이 때 바깥 원 위에 있는 한 정점이 그리는 자취가 에피사이클로이드 곡선이다. 두 원의 반지름을 각각 $R$, $r$이라 하자. 이 곡선은 두 원의 반지름이 이루는 비 $k$ $(R=kr)$에 따라 아래와 같은 모양이 된다. 이제 방정식을 구해보자. $$l_R=R\theta=r\alpha=l_r$$ $$\alpha=\frac{R\theta}{r}$$ 점 $P$의 좌표 $(x(\theta),y(\theta))$는 아래와 같이 매개변수를 써서 나타낼 수 있다. $$x(\theta)= (R+r)\cos\theta-r\cos(\theta+\alpha) = (R+r)\cos\theta-r\cos\bigg(\frac{R+r}{.. 2024. 2. 4. 카디오이드 스트링 아트는 실을 매어 어떤 모양을 만드는 것이다. 퍼즐과 같은 놀이로 다루기도 하지만 다르게 보면 수학 문제가 되기도 한다. 심장 곡선 원 위에 7개점을 찍고 각각 $P_n$라고 하자. 이때 곱셈을 아래와 같이 모듈러 곱셈으로 정의하자. $m\times n=mn$을 7로 나눈 나머지 이제 점 $P_n$에서 시작해서 $P_{2n}$로 선분을 긋는다면 아래와 같은 그림을 얻을 수 있다. $$P_1\rightarrow P_2 \rightarrow P_4 \rightarrow P_1$$ $$P_3\rightarrow P_6 \rightarrow P_5 \rightarrow P_3$$ 점의 개수 $n$을 늘려가면서 같은 방식으로 그림을 그리면 새로운 곡선이 드러난다. 차례로 $n$이 22, 100, 200일 .. 2024. 2. 4. 와트 곡선 와트 곡선(watt's curve)은 증기기관을 발명한 제임스 와트(James Watt(1736- 1819))의 이름을 딴 곡선이다. 차수 6의 삼원 평면 대수 곡선(tricircular plane algebraic curve of degree six)이다. 곡선의 방정식은 무려 6차 다항식으로 나타난다. 이 곡선은 중심이 $(\pm a, 0)$이고 반지름 $b$인 두 원에 의해 만들어진다. 길이 $2c$의 선분의 끝점이 두 원 위에서 움직일 때, 선분의 중점은 와트 곡선을 그린다. 극형식으로 표현하면 아래와 같다. $$r^2 =b^2 -[a\sin\theta \pm\sqrt{ c^2-a^2 \cos^2 \theta}]^2$$ https://en.wikipedia.org/wiki/Watt%27s_curv.. 2024. 2. 4. 이전 1 다음
