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수학사전122

제곱근 제곱해서 어떤 수가 되는 수를 어떤 수의 제곱근이라고 한다. 즉, $x^2=a$인 수 $x$를 $a$의 제곱근이라고 한다. 제곱근은 근호(root) $\sqrt{\quad}$를 써서 나타낸다. $a>0$일 때, 제곱근은 양수와 음수 하나씩 2개가 있다. $a$의 양의 제곱근은 $\sqrt{a}$, $a$의 음의 제곱근은 $-\sqrt{a}$로 적는다. $\sqrt{a}$는 '제곱근 $a$' 또는 '루트 $a$', $-\sqrt{a}$는 '음의 제곱근 $a$' 또는 '마이너스 루트 $a$'로 읽는다. 2024. 3. 18.
체 아래와 같은 성질을 만족하는 실수와 같은 구조를 가진 집합을 체(field)라고 한다. $\forall\;a,b\in F,\;\;\;a+b\in F,\;\;a\cdot b \in F$. 두 이항연산( binary operations ) 덧셈(+)과 곱셈($\cdot$)에 대하여 닫혀있다. $\forall\;a,b,c\in F,\;\;\;(a+b)+c=a+(b+c),\;\;(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)$ 결합법칙이 성립한다. $\forall\;a,b\in F,\;\;a+b=b+a,\;\;a \cdot b=b\cdot a$ 교환법칙이 성립한다. $\forall a\in F$에 대하여 $a+0=a,\;\;a\cdot 1=a$인 $0, 1 \in F$이 존재한다. 덧셈과 곱셈에 .. 2024. 1. 29.
환 환(環, 영어: ring)은 덧셈과 곱셈이 정의된 대수 구조의 하나이다. 환은 덧셈에 대하여 아벨 군을 이루고, 분배법칙과 곱셈의 결합법칙 및 항등원의 존재를 만족시키지만, 곱셈에 대한 역원은 존재하지 않을 수 있다. 2024. 1. 29.
원함수 원함수(circular function)는 삼각함수를 부르는 다른 이름이다. 2024. 1. 29.
뢸로 삼각형 뢸로 삼각형은 원과 같이 폭이 일정한 도형(정폭도형) 가운데 하나로 프랑스 기계공학자 프란츠 뢸로의 이름을 따왔다. 위와 같이 점선인 정삼각형의 세 꼭짓점에서 한 변의 길이를 반지름으로 하는 원호를 그려서 만든다. 아래와 같이 드릴을 뢸로 삼각형으로 만들면 정사각형 모양으로 구멍을 뚫을 수 있다. https://suhak.tistory.com/186 폭이 일정한 도형 볼록다각형에서 '폭(width)'은 어떤 직선 $l$에 수직인 바깥접선에 의해 생기는 선분 AB의 길이다. 바깥접선(supporting line)은 볼록 다각형에서 도형 C와 한점에서 만나는 직선 가운데 도형C가 한쪽에 suhak.tistory.com 2024. 1. 29.
인수분해 세 정수 $m, a, b$가 $m=ab$을 만족하면 $a, b$는 $m$의 인수(factor)이다. 약수와 큰 차이가 없다. 약수는 어떤 수를 나누어 떨어지는 수를 구하는 일과 인수는 어떤 수를 곱셈으로 나타내는 일과 연관된 용어다. 주어진 수를 인수들의 곱으로 나타내는 일을 인수분해(factorization)라고 한다. 인수 가운데 소수인 것을 소인수(prime factor)라고 한다. 합성수를 소인수의 곱으로 나타내는 것을 소인수분해라고 한다. 순서를 생각하지 않으면 모든 수는 오직 한 가지 꼴로 소인수분해된다. 중학교에서 배우는 소인수분해는 앞으로 배울 수학의 기초가 된다. 다항식에도 인수분해가 있다. 아래와 같이 주어진 다항식을 두 개 이상의 다항식의 곱으로 나타내는 것이다. $$x^2 +3x+2.. 2024. 1. 29.
현수선 현수선은 영어로 catenary인데 라틴어로 사슬chain을 뜻하는 말 catena에서 왔다. 아치 모양의 디자인에서 나타나고 현수면(catenoid: 평행인 원 모양 고리를 경계로 하는 비누 거품이 만드는 입체)를 자른 단면도 현수선이다. 여러 가지 이름으로 불리는 현수선은 고전 역학에서 걸려 있는 밧줄과 관계된 문제에 등장한다. https://suhak.tistory.com/1072 현수선(Catenary)에 대하여 이 글은 맨 아래 연결해 놓은 위키피디아를 참고하여 적는다. 아래와 같이 가운데 교각을 세우지 않고 만든 다리를 현수교라고 부른다. 이런 이름으로 불리는 까닭은 늘어진 줄이 만드는 곡선이 suhak.tistory.com 2024. 1. 28.
이항정리 우리말로 이항은 항을 옮긴다는 뜻으로 쓰기도 한다. 하지만 이항정리에서 이항은 항(monomial)이 두 개인 다항식(polynomial)을 말한다. 영어로 binomial이다. 즉 이항정리는 항이 두 개인 다항식을 거듭제곱하는 정리를 말한다. $$(x+y)^2=x^2 +2xy+y^2$$ $$(x+y)^3=x^3 +3x^2y+3xy^2+y^3$$ $$\vdots$$ 이항정리(binomial theorem)는 아래와 같이 적을 수 있다. $$\displaystyle (x+y)^{n}=\sum_{r=0}^{n} \binom{n}{r} x^{n-r}y^{r} $$ 이때, 조합의 수인 $\displaystyle{\binom{n}{r}}$를 이항계수(binomial coefficient)라고 부른다. 흔히 파스칼.. 2024. 1. 28.
엇각 아래 그림에서 a와 e처럼 같은 위치에 있는 각이 동위각이다. 이때, a와 c는 맞꼭지각으로 크기가 같다. 따라서 서로 대체할 수 있다. 영어로는 alternate angle을 엇각으로 옮긴다. 엇각(alternate angles)은 c와 e, a와 g와 같이 안과 바깥에 두 가지가 있다. 이 둘을 구별하여 따로 옮기는 우리말은 없다. 굳이 옮길 필요도 없다.(alternate exterior angles, alternate interior angles) 2024. 1. 28.
조건과 진리집합 조건(condition)은 포함된 미지수의 값에 따라 참과 거짓이 결정되는 문장이나 식이다. 명제: 3은 소수이다. 조건: x는 소수이다. 조건은 보통 $p,\;q,\;\cdots$와 같이 소문자로 쓴다. 한편, 조건을 참으로 만드는 미지수의 집합은 진리집합(truth set)이다. 진리집합은 $P,\;Q,\;\cdots$와 같이 대문자로 쓴다. 위에 있는 조건 'p: x는 소수이다.'의 진리집합은 $P=\{2,3,5,7,\cdots\}$와 같이 나타낼 수 있다. 논리학에서는 $p\rightarrow q$와 같이 두 조건으로 이루어진 조건명제를 주로 다룬다. 이때, p는 가정이고 q는 결론이다. 두 조건 $p,q$의 진리집합을 각각 $P,Q$라고 한다면 $P\subset Q$일 때, 명제 $p\right.. 2024. 1. 28.
맞꼭지각 두 직선이 만나면 각이 4개 만들어진다. 이를 교각(angle of intersection)이라고 한다. 포물선이나 원 등의 곡선이 만나서 생기는 교각은 교점을 지나는 접선이 이루는 각으로 정의한다. 교각 가운데 서로 마주 보는 각을 맞꼭지각(vertical angles)으로 이웃한 각을 이웃각 또는 인접각(adjacent angles)으로 부른다. 각 b는 각 a의 이웃각이고, 각 a는 각 b의 이웃각이다. 이웃각은 '꼭짓점과 한 변을 공유하는 각'이다. 두 직선이 만날 때, 이웃하는 두 교각의 크기를 더하면 180도이다. 합이 180도인 각은 서로 보각(supplementary angle)이라고 부른다.(참고: 합이 90도이면 서로 여각(complementary angle)이다.) $$a+b=b+c=.. 2024. 1. 28.
동위각 두 직선에 다른 한 직선이 만나서 이루는 각들 가운데 같은 위치에 있는 각을 동위각(corresponding angle)이라고 한다. a와 e, b와 f, c와 g, d와 h는 각각 서로 동위각이다. 각 a와 각 c는 맞꼭지각으로 크기가 서로 같다. 따라서, 각 c는 각 a를 대체할 수 있다. 이때, 각 c는 각 e의 엇각(alternate angle)이라고 한다. 유클리드 기하의 다섯번 째 평행선 공준(공리)은 아래와 같다. 주어진 두 직선과 한 직선이 만날 때, 주어진 두 직선을 한없이 늘리면 같은 쪽에 있는 내각을 더해서 직각 둘(180도)보다 작은 쪽에서 만난다. $c+f 2024. 1. 27.
초월수 초월수(transcendental number)는 여러 가지로 표현할 수 있다. 대수적 수(Algebraic number)가 아닌 수. 유리수 계수를 가지는 0이 아닌 다항방정식의 해가 될 수 없는 수. 유리수의 대수적 연산(사칙연산, 거듭제곱, 거듭제곱근)으로 표현할 수 없는 수. 대표적으로 $e, \pi$가 있다. https://suhak.tistory.com/1470 e는 초월수이다. 수학에서 방정식을 푸는 일은 매우 중요하다. 방정식을 해결하는 방법을 연구하는 분야는 대수학(Alebra)으로 분류한다. 기하학 다음으로 오래된 분야라고 생각한다. 조금 어려운 이야기를 하고 suhak.tistory.com https://www.youtube.com/watch?v=WyoH_vgiqXM 2023. 1. 26.
거듭제곱 급수 급수가 수렴하는가를 판정하는 여러 가지 방법을 배웠다. 이를 바탕으로 이제 거듭제곱 급수를 정리해 보자. 한자로 거듭제곱은 멱冪으로 적는다. 조금 옛날식 이름인 멱급수(冪級數)로 부르는 책도 있다. 다항함수는 미적분으로 다루기 매우 쉬운 함수다. 어떤 함수 $f(x)$가 주어졌을 때, 함수 $f(x)$로 수렴하는 거듭제곱 급수를 찾는다면 많은 문제가 저절로 해결된다. 가장 널리 쓰이는 거듭제곱 급수는 테일러급수다. 2023. 1. 19.
극한 1. 수열의 극한 수열 $\{a_n\}$에서 $n$이 한없이 커질 때, $a_n$의 값이 일정한 수 $L$에 한없이 가까워지면 수열 $\{a_n\}$은 $L$로 수렴한다고 한다. $L$은 극한값이다. 기호로는 아래와 같이 적는다. $$\lim_{n\rightarrow \infty}a_n=L$$ 또는 $$n\rightarrow\infty일\;\;때,\;\; a_n\rightarrow L$$ 엄밀한 정의 $\forall \epsilon >0$에 대하여 다음을 만족하는 자연수 $N(\epsilon)$이 항상 존재한다. $$\forall n>N(\epsilon)\;\;\Rightarrow \;\;|a_n -L|0$에 대하여 다음을 만족하는 양수 $\delta>0$가 항상 존재한다. $$\forall x\in:\.. 2023. 1. 4.

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