이항정리

우리말로 이항은 항을 옮긴다는 뜻으로 쓰기도 한다. 하지만 이항정리에서 이항은  항(monomial)이 두 개인 다항식(polynomial)을 말한다. 영어로 binomial이다.  즉 이항정리는 항이 두 개인 다항식을 거듭제곱하는 정리를 말한다. 

$$(x+y)^2=x^2 +2xy+y^2$$

$$(x+y)^3=x^3 +3x^2y+3xy^2+y^3$$

$$\vdots$$

이항정리(binomial theorem)는 아래와 같이 적을 수 있다.

$$\displaystyle (x+y)^{n}=\sum_{r=0}^{n} \binom{n}{r} x^{n-r}y^{r}$$

이때, 조합의 수인 $\displaystyle{\binom{n}{r}}$를 이항계수(binomial coefficient)라고 부른다. 흔히 파스칼의 삼각형으로 알려진 이항계수 사이의 정리는 아래와 같다.

$$\binom nk = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}k\tag{1}$$

$${n \choose k} + {n \choose k+1} = {n+1 \choose k+1}\tag{2}$$

그림으로 나타내면 아래와 같다.

이것은 고대 중국의 수학책인 구장산술에도 등장한다.

https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_coefficient

Binomial coefficient - Wikipedia