차원
갤러그란 게임이 있었다. 우리나라에 오락실이 생겨날 무렵 어린 시절을 보내신 이에게는 추억이 되어있는 게임이다. 게임도 진화한다. 이제 $2-D$에서 $3-D$ 게임으로 옮겨가고 있다. 완벽하지 못하지만 $3-D$는 입체적인 모습을 보여준다.
여기서 $D$는 차원(Dimension)을 나타낸다. 선은 $1$차원 도형 면은 $2$차원 도형이라 부르기도 했을 것이다. 어려운 문제를 만났을 때 “이건 차원이 다른 문제야”라고 말한다. 과연 차원이 높은 것이 낮은 것보다 이해하기 어려울까? 이제 소개하는 차원은 정말 차원이 다른 이야기다. 자연수가 아닌 수를 차원으로 생각해야 하니까?
고등학교에서 배우는 수학에서 $a^n$의 지수인 $n$을 자연수에서 실수로 확장해가는 정의가 나온다. 이와 비슷하게 차원도 새로운 방법으로 정의하여 2차원과 3차원 사이의 다른 차원도 생각해 볼 수 있지 않을까? 이것을 먼저 생각하여 정리한 수학자가 있다.
독일의 수학자 하우스도르프(F.Hausdorff, 1868~1942)차원을 보는 관점을 바꾸어서 측도, 즉 길이, 넓이, 부피 등의 도형의 크기를 일반화시킨 개념의 입장에서 생각하였다. 어떤 도형을 r배 하였을 때 원래 있던 도형이 얼마(C)가 필요한 것인가를 결정하는 것으로 차원을 일반화하였다.
예를 들어 길이가 $1$인 선분을 $3$배한 도형은 원래의 선분 $3$개로 만들 수 있다. 한 변의 길이가 $1$인 정사각형을 $3$배로 늘린 정사각형은 한 변의 길이가 $1$인 정사각형 $9=3^2$개로 만들어 진다. 마찬가지로 정육면체를 $3$배로 만들기 위해서는 $27=3^3$개의 정육면체가 필요하다.
일반화적으로 어떤 도형의 크기가 $r$배인 도형을 만들 때 도형이 $C$개 필요하다면 차원 $D$는 아래와 같다.
$$C=r^D\tag{1}$$
프랙탈 도형의 차원
(1)에서 차원 $D$는 아래와 같이 계산할 수 있다. 이것이 하우스도르프 차원인데 분수 차원인 도형이 있다.
$$D=\frac{\log C}{\log r}\tag{2}$$
코흐 곡선
이제 프랙탈 도형의 차원을 구해보자. 이제 대표적인 프랙탈 코흐곡선(koch curve)의 차원을 구해보자.
선분을 삼등분 한 후에 가운데 도막을 없앤 후 두 번째 그림과 같이 남아있는 선분과 같은 길이의 두 개의 선분을 붙여넣는 작업을 무한히 하여 생겨나는 곡선을 코흐 곡선이라고 한다. 이 곡선의 길이는 무한이다. 처음 주어진 선분의 길이가 1이라고 가정하면 코흐 곡선의 길이는 첫번째 항이 1이고 공비 $\displaystyle{\frac{4}{3}}$인 등비수열의 합과 같으므로 무한한 길이가 된다.
이 곡선을 3배로 만들기 위해서는 4개의 같은 곡선이 필요하다. 그러므로 차원을 구해보면 아래와 같다.
$4=3^D$
$$D=\frac{\log4}{\log3}\sim 1.26185\cdots$$
이 차원은 1보다는 크고 2보다는 작은 값이다.
코흐눈송이도 같은 방법으로 만들 수 있다.
시에르핀스키 삼각형
위 그림에서 시에르핀스키 삼각형은 3개로 크기가 2배인 시에르핀스키 삼각형을 만들 수 있다.
따라서 차원은 $3=2^{D}$에서 $\displaystyle{D=\frac{\log3}{\log2}\sim 1.585\cdots}$이다.
맹거 스펀지
아래 그림과 같은 도형은 3배인 도형을 만들 때 20개가 필요하다. 따라서 차원은
$$D=\frac{\log 20}{\log3}\sim 2.726833027\cdots$$
