수학사전122 허수 어떤 실수도 아래의 방정식을 만족시킬 수 없다. $$x^2 =-1$$ 수학자들은 방정식의 해를 구하기 위해 수 체계를 확장해 왔다. 위에 있는 방정식도 해를 구할 필요가 있다. 제곱해서 음수가 되는 새로운 수를 만들기 위해 $\sqrt{-1}$을 생각할 수 있다. 제곱근으로 표현할 때 생기는 혼란을 막기 위해 오일러 이후로 문자 $i$로 허수(imaginary number)단위를 표현한다. $$i=\sqrt{-1}$$ 고대 그리스의 수학자 헤론은 거듭제곱하여 음수가 되는 수에 대한 개념을 기록한 바 있다. 1572년 이탈리아의 수학자 라파엘 봄벨리가 허수 단위를 정의하였다. 삼차방정식의 근의 공식을 찾아낸 게로라모 카르다노(Gerolamo Cardano)의 책에 개념이 등장한다. 이후 르네 데카르트가 《.. 2023. 1. 2. 미분방정식 알려지지 않은 함수와 그들의 도함수 사이의 관계를 나타내는 방정식. 미지의 함수가 일변수 함수이면 평범한 미분항만을 포함한 상미분방정식(常微分方程式, Ordinary Differential Equation; ODE)이 되고, 미지의 함수가 두 개 이상의 변수를 갖는 다변수 함수이고 편미분항들이 등장하면 편미분방정식(偏微分方程式, Partial Differential Equation; PDE)이라고 한다. $$y+2xy^{\prime}+1=0\tag{1}$$ $$\frac{\partial^2u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2u}{\partial y^2} = 0\tag{2}$$ (1)은 상미분방정식, (2)는 편미분방정식이다. 2023. 1. 2. 군 집합 G에서 정의된 연산 $\cdot$이 아래를 공리를 만족하면 집합 G는 연산 $\cdot$에 대하여 군(群: group)을 이룬다고 말한다. 군 $(G, \cdot )$로 적는다. 결합법칙 Associativity 모든 $a,b,c \in G$에 대하여 $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$를 만족한다. 항등원 Identity element 모든 $a\in G$에 대하여 $a\cdot e=e \cdot a=a$를 만족하는 원소 $e \in G$가 존재한다. 역원 Inverse element 모든 $a \in G$에 대하여 $a\cdot b=b\cdot a =e$를 만족하는 $ b \in G$가 존재한다. 교환법칙까지 된다면 교환군(commutative group) 또는 아.. 2023. 1. 1. 메르센 소수 메르센은 소수를 찾는 유용한 방법을 찾는다. 먼저 소수는 아래와 같은 꼴일 것으로 추측했다. $$M(n)=2^n-1$$ 이 수를 메르센 수(Mersenne numbers)라고 한다. 메르센 수 $M(n)$이 소수이면 $n$은 소수이다. 하지만 역은 성립하지 않는다. $n$이 소수라고 해도 $M(n)$이 소수인 것은 아니다. 더보기 $n=pq$이면 $M(ab)$는 합성수임을 보이자. 메르센 수는 이항정리로 나타낼 수 있다. $$M(n)=\sum_{k=0}^n \pmatrix{n\\k}-1$$ 이항정리를 이용하여 인수분해를 하면 아래와 같다. $$\begin{split}a^n-b^n &=a^n+\sum_{k=1}^{n-1}a^{k} b^{n-k}-\sum_{k=1}^{n-1} a^k b^{n-k} - b^n.. 2022. 12. 26. 최소공배수 최소공배수(Least common multiple(LCM))는 둘 이상의 0이 아닌 정수의 공배수 가운데 최소인 양의 정수 Least common multiple - Wikipedia Least common multiple - Wikipedia From Wikipedia, the free encyclopedia Jump to navigation Jump to search Smallest positive number divisible by two integers A Venn diagram showing the least common multiples of combinations of 2, 3, 4, 5 and 7 (6 is skipped as it is 2 × 3, both of which en.wikip.. 2022. 12. 19. 최대공약수 최대공약수(greatest common divisor (GCD))는 둘 이상의 0이 아닌 정수의 공약수 가운데 가장 큰 양의 정수. $$gcd(x,y)=m$$ Greatest common divisor - Wikipedia Greatest common divisor - Wikipedia From Wikipedia, the free encyclopedia Jump to navigation Jump to search Largest positive integer that divides two or more integers In mathematics, the greatest common divisor (GCD) of two or more integers, which are not all zero, is the .. 2022. 12. 19. 서로소 1. 최대공약수가 1인 두 자연수는 서로소(relatively prime)이다. 2. 공약수가 0이 아닌 상수 뿐인 두 다항식은 서로소(coprime 또는 mutually prime)라고 한다. 3. 교집합이 공집합인 두 집합은 서로소(disjoint)라고 한다. 2022. 12. 19. 밑 1. 거듭제곱으로 표현했을 때 지수 아래에 쓰는 곱해지는 수. $a^n$에서 $a$는 밑(base)이고 $n$은 지수(exponent 또는 power). 영어로 읽는 법: "$a$ raised to the power of $n$", "$a$ to the $n$-th power" 2. 로그에서 아래에 쓰는 수. $\log_{a} N$에서 $a$는 밑, $N$은 진수(anti-logarithm). '$a$를 밑으로 하는 $N$의 로그'라고 읽어야 하지만 보통 '로그 에이의 엔'처럼 읽는 이가 많다. 영어로 읽는 법: "the logarithm of $N$ to base $a$", "the base-b logarithm of x", "the log, base b, of x" 3. 십진법이나 이진법으로 수를 나.. 2022. 12. 19. 쌍곡함수 쌍곡함수(hyperbolic function)는 원의 넓이를 활용한 삼각치환처럼 쌍곡선의 넓이를 활용한 적분을 위해 새로 정의한 함수이다. $$\sinh x=\frac{1}{2}(e^x -e^{-x}), \quad \cosh x =\frac{1}{2}(e^x +e^{-x})$$ $$\tanh x=\frac{\sinh x}{\cosh x}$$ https://suhak.tistory.com/570 $\int \sqrt{1+x^2}dx$ 와 쌍곡함수(Hyperbolic Function) 치환적분은 여러 가지 어려운 문제를 해결해 준다. 그 가운데 삼각치환은 멋지다. 삼각치환을 넘어 쌍곡치환까지 정리해 둔다. $$\int \sqrt{1+x^2}dx$$ 간단한 꼴이지만 풀려고 나서면 쉽지는 않다. suhak.ti.. 2022. 12. 19. 아크 아크(arc)는 원의 호를 뜻한다. 주로 삼각함수와 쌍곡함수의 역함수를 나타낼 때 쓴다. $$arc\tan x=\tan^{-1}x,\;\;arc\cosh x=\cosh^{-1} x$$ 2022. 12. 19. 진동수 진동수(frequency)는 주기적인 현상이 단위시간 동안 몇 번 일어났는지를 나타내는 수. 주파수(周波數)라고도 한다. SI단위로는 헤르츠(Hz)를 쓴다. 2022. 12. 19. 주기 주어진 함수 $f$에서 임의의 $x$에 대하여 아래를 만족하는 최소 양수 $p$를 주기(period)라고 한다. $$f(x+p)=f(x)$$ 2022. 12. 19. 진폭 평균이나 기본 값에서 변화하는 양의 최대 거리 또는 진자 운동과 같은 주기 함수에서 최고점과 최저점 사이의 거리의 절반. 아래와 같은 진동을 나타내는 함수에서 A가 진폭(amplitude)이다. $$\displaystyle {x=A\sin(\omega [t-K])+b}$$ https://en.wikipedia.org/wiki/Amplitude Amplitude - Wikipedia From Wikipedia, the free encyclopedia Jump to navigation Jump to search Measure of change in a periodic variable The amplitude of a periodic variable is a measure of its change in a s.. 2022. 12. 19. 스칼라 주어진 체(field) 위에서 벡터 공간(vector space)을 정의할 때 체의 원소를 스칼라(scalar)라고 한다. 사다리를 뜻하는 라틴어 scalaris에 뿌리를 두고 있는 말이다. https://en.wikipedia.org/wiki/Scalar_(mathematics) Scalar (mathematics) - Wikipedia Elements of a field, e.g. real numbers, in the context of linear algebra A scalar is an element of a field which is used to define a vector space. In linear algebra, real numbers or generally elements of a f.. 2022. 12. 18. 벡터 벡터(vector)는 크기와 방향을 모두 가진 양. 하나의 수로 나타낼 수 있는 스칼라와 구분되는 벡터 공간의 원소. 방향이 있는 선분인 화살표로 나타낸다. 그림과 같이 점 $A$를 시작점 $B$를 끝점으로 하는 화살표를 벡터 $AB$로 부르고 기호로 $\overrightarrow{AB}$로 쓰기로 하자. 화살 방향을 벡터 방향으로 생각하고 화살표 길이를 벡터의 크기로 한다. 벡터 크기는 $|\overrightarrow{AB}|$로 쓴다. 시작과 끝점이 같은 벡터는 영벡터($\overrightarrow{AA}=\overrightarrow{0}$)이고 크기는 $0$이다. 시작과 끝을 나타낼 필요가 없을 때에는 $\vec{v}$나 위에 화살표를 쓰지 않을 때에는 스칼라($a,b,c,\cdots$)와 구별하기.. 2022. 12. 18. 이전 1 2 3 4 5 ··· 9 다음
