서로 외접하는 원이 있을 때 바깥에 있는 원이 안쪽에 있는 원과 접하면서 구른다고 하자. 이 때 바깥 원 위에 있는 한 정점이 그리는 자취가 에피사이클로이드 곡선이다.

두 원의 반지름을 각각 R, r이라 하자. 이 곡선은 두 원의 반지름이 이루는 비 k (R=kr)에 따라 아래와 같은 모양이 된다.
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이제 방정식을 구해보자.

lR=Rθ=rα=lr
α=Rθr
점 P의 좌표 (x(θ),y(θ))는 아래와 같이 매개변수를 써서 나타낼 수 있다.
x(θ)=(R+r)cosθ−rcos(θ+α)=(R+r)cosθ−rcos(R+rr)θ
y(θ)=(R+r)sinθ−rsin(θ+α)=(R+r)sinθ−rsin(R+rr)θ
또는 k를 써서
x(θ)=r(k+1)cosθ−rcos(k+1)θ
y(θ)=r(k+1)sinθ−rsin(k+1)θ
로 적을 수 있다.
k가 자연수일 때, 이 곡선의 길이 L을 구해보자.
먼저
dxdθ=−r(k+1)sinθ+r(k+1)sin(k+1)θ
dydθ=r(k+1)cosθ−r(k+1)cos(k+1)θ
(dxdθ)2=r2(k+1)2(sinθ−sin(k+1)θ)2
(dydθ)2=r2(k+1)2(cosθ−cos(k+1)θ)2
(dxdθ)2+(dydθ)2=r2(k+1)2(2−2coskθ)=22r2(k+1)2sin2(k2θ)2
두 뾰족점 사이 거리를 l이라 하면 L=kl이다.
l=∫2π/k0√(dxdθ)2+(dydθ)2dθ=∫2π02r(k+1)sin(k2θ)dθ=2r(k+1)[−2kcos(k2θ)]2π/k0=8rk+1k
그러므로 L=8r(k+1)=8(R+r)이다.