에피사이클로이드

서로 외접하는 원이 있을 때 바깥에 있는 원이 안쪽에 있는 원과 접하면서 구른다고 하자. 이 때 바깥 원 위에 있는 한 정점이 그리는 자취가 에피사이클로이드 곡선이다.   

두 원의 반지름을 각각 $R$, $r$이라 하자. 이 곡선은 두 원의 반지름이 이루는 비 $k$ $(R=kr)$에 따라 아래와 같은 모양이 된다.

 

 

이제 방정식을 구해보자.

$$l_R=R\theta =r\alpha =l_r$$

$$\alpha =\frac{R\theta }{r}$$

점 $P$의 좌표 $(x(\theta),y(\theta))$는 아래와 같이 매개변수를 써서 나타낼 수 있다.

$$x(\theta )=(R+r)\cos \theta -r\cos (\theta +\alpha )=(R+r)\cos \theta -r\cos (\frac{R+r}{r})\theta$$

$$y(\theta )=(R+r)\sin \theta -r\sin (\theta +\alpha )=(R+r)\sin \theta -r\sin (\frac{R+r}{r})\theta$$

또는 $k$를 써서

$$x(\theta )=r(k+1)\cos \theta -r\cos (k+1)\theta$$

$$y(\theta )=r(k+1)\sin \theta -r\sin (k+1)\theta$$

로 적을 수 있다.

epicycloid_02.ggb

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$k$가 자연수일 때, 이 곡선의 길이 $L$을 구해보자.

먼저

$$\frac{dx}{d\theta }=-r(k+1)\sin \theta +r(k+1)\sin (k+1)\theta$$

$$\frac{dy}{d\theta }=r(k+1)\cos \theta -r(k+1)\cos (k+1)\theta$$

$$(\frac{dx}{d\theta }{)}^2=r^2(k+1{)}^2(\sin \theta -\sin (k+1)\theta {)}^2$$

$$(\frac{dy}{d\theta }{)}^2=r^2(k+1{)}^2(\cos \theta -\cos (k+1)\theta {)}^2$$

$$(\frac{dx}{d\theta }{)}^2+(\frac{dy}{d\theta }{)}^2=r^2(k+1{)}^2(2-2\cos k\theta )=2^2{r}^2(k+1{)}^2{\sin }^2(\frac{k}{2}\theta {)}^2$$

두 뾰족점 사이 거리를 $l$이라 하면 $L=kl$이다.

$$\begin{array}{rl}l& ={\int }_0^{2\pi /k}\sqrt{(\frac{dx}{d\theta }{)}^2+(\frac{dy}{d\theta }{)}^2}d\theta \\ & ={\int }_0^{2\pi }2r(k+1)\sin (\frac{k}{2}\theta )d\theta \\ & =2r(k+1)[-\frac{2}{k}\cos (\frac{k}{2}\theta ){]}_0^{2\pi /k}\\ & =8r\frac{k+1}{k}\end{array}$$

그러므로 $L=8r(k+1)=8(R+r)$이다.

하이포사이클로이드