하이포사이클로이드

하이포사이클로이드는 사이클로이드에서 한발 더 나간 곡선이다. 두 원이 있을 때 작은 원이 큰 원에 내접하면서 구른다고 하자. 이때 작은 원 위에 있는 한 정점이 그리는 자취가 하이포사이클로이드(hypocycloid)이다.

자취를 식으로 나타내 보자. 두 원의 반지름이 각각 $R,r(R>r)$이라고 하자. 작은 원이 큰 원에 접하면서 $\alpha$ 회전했을 때, 작은 원 중심은 큰 원의 중심을 중심으로 $\theta$ 회전했다고 하자. 원 위의 점은 $P(x(\theta),y(\theta))$라고 하고 시작은 $x(0)=R, y(0)=0$이라고 하자.

$$r\alpha=R\theta$$

이제 작은 원 중심 $A$를 지나고 $x$축과 평행한 직선과 $\overline{AP}$가 이루는 각을 $\phi$라고 하면

$$r(\theta + \phi)=R\theta$$

$$\therefore \quad \phi=\frac{R-r}{r}\theta$$

$A \left( (R-r)\cos \theta, (R-r)\sin \theta \right)$

이므로

$P(x(\theta),y(\theta))$는 아래와 같다.

$$x(\theta)=(R-r)\cos \theta +r\cos \phi= (R-r)\cos\theta +r\cos\left( \frac{R-r}{r}\theta \right)$$

$$y(\theta)=(R-r)\sin \theta -r\sin \phi=(R-r)\sin\theta -r\sin\left(\frac{R-r}{r}\theta\right)$$

 

 

 

hypocycloid_01.ggb

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hypocycloid_02.ggb

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모양은 $\displaystyle{k=\frac{R}{r}}$에 따라 결정된다.

이와 비슷한 에피사이클로이드(epicycloid)도 있다.

사이클로이드

에피사이클로이드