자연수(natural number)는 개수를 셀 때 사용하는 수이다. 이름 그대로 원래부터 스스로 존재하는 수라고 생각하면 쉽다. 하지만 현대 수학은 자연수도 그대로 놓아두지 않는다. 페아노(Giuseppe Peano: 1858.8.27.~1932.4.20.)는 아래와 같은 공리(Peano's axioms)로써 자연수를 정의하였다.
아래를 모두 만족하는 집합 $\mathbb{N}$은 자연수의 집합이다.
- $\mathbb{N}$은 특별한 한 원소인 $1$을 원소로 가진다. ($1\in \mathbb{N}$)
- $\mathbb{N}$의 임의의 원소 $n$에 대하여 $n$의 다음수(successor) $n^+$도 $\mathbb{N}$의 원소다. ($\forall n\in \mathbb{N}\Rightarrow n^+ \in\mathbb{N}$)
- $1$을 다음수로 갖는 원소는 $\mathbb{N}$에 존재하지 않는다. ($\forall n \in \mathbb{N},\quad n^+\not=1$)
- $\mathbb{N}$의 두 원소가 같은 다음수를 가지면, 두 원소는 같다. ($n^+ =m^+\Rightarrow n=m$)
- 집합 $S$가 $1\in S$이고 $\forall n \in S$에 대하여 $n^+ \in S$라면, $\mathbb{N} \subset S$이다.
이 가운데 공리 5는 수학적 귀납법이 성립한다는 것이다.
$\mathbb{N}$은 $1$과 모든 다음수 $1,\;\;2=1^+, \;\;3=(1^+)^+, \;\; 4=((1^+)^+)^+,\;\; \cdots$을 포함하는 가장 작은 집합이고 이것으로 $\mathbb{N}$은 유일하게 결정된다.
위 공리에서 $1$은 무정의 용어다. 맨 앞에 있는 원소가 있다는 것만 나타내면 되므로 반드시 $1$로 적을 필요가 없다. 어떤 책은 $1$을 대신하여 $0$으로 쓰기도 한다. 0이 자연수냐 아니냐를 두고 논쟁을 벌이는 친구들도 있는데 그냥 자연스럽게 1부터 자연수라고 하자. 자연수의 본질은 바로 수학적 귀납법이 성립한다는 것이지 모양이 아니다. 아라비아 숫자 이전에도 자연수는 존재했다.
자연수 집합의 개수(cardinality)?는 $\aleph_0$이다.
