함수

중학교 교육과정에서 집합이 사라진 지 이미 오래다. 중학교 수학 2에서 함수는 아래와 같이 정의하고 있다.

두 변수 $x$, $y$에 대하여 $x$의 값이 변함에 따라 $y$의 값이 하나씩 정해지는 관계가 있을 때, $y$를 $x$의 함수라고 한다.

엄밀한 정의

수학에서 두 집합 사이의 원소를 관련짓도록 하는 개념을 쓸 때가 많다. 학생들 시험 점수를 매기는 일을 예로 들면 학생을 출석 번호로 나타내면 집합 $S=\{1,2,3 \}$의 원소에 집합 $\{A,B,C,D\}$의 원소를 하나씩 연결하는 것이다. 이러한 대응이 바로 함수이다. 함수는 때로 사상(mapping) 또는 변환(transformation)으로 부른다. 참고

함수의 역사

 

$A$와 $B$가 집합이라고 하자. $A$로부터 $B$로의 함수 $f$는 $A$의 원속 각각에 $B$의 원소를 단 하나만 대응시킨 것이다. 함수는 $f(a)=b$와 같이 적고 이것은 원소 $a$에 함수 $f$에 의해 대응된 원소가 $b$임을 나타낸다. 엄밀한 함수의 정의는 아래와 같다.

정의 1

두 집합 $X$와 $Y$의 원소 사이에 관계 $f$가 아래를 만족하면 함수라고 한다.

1. $\forall\;\;x \in X$에 대하여  $y=f(x)$인 $y \in Y$가 반드시 존재한다.

2. $x_1 ,x_2 \in X$일 때, $x_1 =x_2$이면 $f(x_1 )=f(x_2)$이다.

집합 $X$에서 집합 $Y$로의 함수 $f$를 $f:X\rightarrow Y$로 적는다.

정의 2

$f:X\rightarrow Y$에서 $X$를  $f$의 정의역(domain), $Y$를 $f$의 공역(codomain)이라고 한다. $f(x)=y$라면 $y$는 $x$의 상(image)로 $x$는 $y$의 원상(preimage)로 부른다. $X$의 모든 원소에 대응되는 모든 상들의 집합을 $f$의 치역(range) 또는 상(image)이다. 정의역과 공역이 같고 정의역의 모든 원소 $x$에 대하여 $f(x)=g(x)$인 두 함수는 $f,g$는 서로 같다.($f=g$)

$f:X\rightarrow Y$에서 $S\subset X$일 때, $S$의 상은 $f(S)=\{f(s) |s \in S\}$로 적는데 이 집합은 $Y$의 부분집합이다. 

따라서, 치역은 $f(X)$로 적는다.

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함수를 나타내는 방법에 대한 생각