조건과 진리집합

조건(condition)은 포함된 미지수의 값에 따라 참과 거짓이 결정되는 문장이나 식이다.

명제: 3은 소수이다. 
조건: x는 소수이다.

조건은 보통 $p,\;q,\;\cdots$와 같이 소문자로 쓴다. 한편, 조건을 참으로 만드는 미지수의 집합은 진리집합(truth set)이다. 진리집합은 $P,\;Q,\;\cdots$와 같이 대문자로 쓴다.

위에 있는 조건  'p: x는 소수이다.'의 진리집합은 $P=\{2,3,5,7,\cdots\}$와 같이 나타낼 수 있다.

논리학에서는 $p\rightarrow q$와 같이 두 조건으로 이루어진 조건명제를 주로 다룬다. 이때, p는 가정이고 q는 결론이다.

두 조건 $p,q$의 진리집합을 각각 $P,Q$라고 한다면 $P\subset Q$일 때, 명제 $p\rightarrow q$는 참이다.

명제 $p\rightarrow q$는 참이면 $p\Rightarrow q$로 적는다. 이때 p는 q이기 위한 충분조건(sufficient condition)는 q는 p이기 위한 필요조건(neccessary condition)이라고 한다.

조건 p: x는 6의 약수이다. 진리집합: $P=\{1,2,3,6\}$ 
조건 q: x는 12의 약수이다. 진리집합 $Q=\{1,2,3,4,6,12\}$
이때, $P\subset Q$이므로 명제 $p\Rightarrow q$이다. 즉,  '6의 약수이면 12의 약수이다.'는 참이다. 
따라서 p는 q이기 위한 충분조건이고 q는 p이기 위한 필요조건이다.

동시에 $q\rightarrow p$까지 참이면 $p\iff q$로 적고 서로 필요충분조건(necessary and sufficient conditions)이라고 한다. $p\iff q$를 영어로 읽으면 'p if and only if q'이다.