글갈래150 거듭제곱 급수 급수가 수렴하는가를 판정하는 여러 가지 방법을 배웠다. 이를 바탕으로 이제 거듭제곱 급수를 정리해 보자. 한자로 거듭제곱은 멱冪으로 적는다. 조금 옛날식 이름인 멱급수(冪級數)로 부르는 책도 있다. 다항함수는 미적분으로 다루기 매우 쉬운 함수다. 어떤 함수 $f(x)$가 주어졌을 때, 함수 $f(x)$로 수렴하는 거듭제곱 급수를 찾는다면 많은 문제가 저절로 해결된다. 가장 널리 쓰이는 거듭제곱 급수는 테일러급수다. 2023. 1. 19. 스리니바사 라마누잔 Srinivasa Ramanujan (1887.12.22.~1920.4.26.) 인도의 수학자인 라마누잔은 순수 수학에 대한 정식 교육을 거의 받지 못했지만 혼자서 정수론, 무한급수, 연속분수를 연구하여 당시 풀 수 없는 것으로 여겨지던 문제에 대한 해법을 찾아내는 등 상당한 성과를 냈다. 그는 자신의 성과를 전문 수학자들의 알리고 인정받으려고 노력했지만 대부분 실패했다. 그가 보여준 공책은 너무 새롭고, 너무 낯설고, 특이한 방식으로 기록되었기 때문에 그들은 이해할 수 없었다. 자신의 작업을 더 잘 이해할 수 있는 수학자를 찾던 중 1913년에 영국 케임브리지 대학의 수학자 GH. 하디와 우편 서신을 교환하기 시작했다. 라마누잔의 비범함을 알아챈 하디(Hardy)는 그를 캠브리지 대학으로 초청하였다. .. 2023. 1. 17. 르네 데카르트 르네 데카르트(René Descartes: 1596-1650) 프랑스 철학자이다. 수학적인 방법으로 철학을 해야 함을 주장했다. 진리에 이르는 방법으로 기하와 대수를 결합한 해석기하를 고안했다. 데카르트는 주로 네덜란드에서 활동했는데 20년 이상 주요 작품을 저술하여 수학과 철학에 혁명을 일으켰다. 1633년에 갈릴레오가 이탈리아 종교재판소에서 벌을 받은 것을 보고 지난 4년간의 작업인 세계에 관한 논문을 출판하려는 계획을 포기했다. 1637년에 일부를 3개의 수필로 발표했다. 방법론(la méthode)에서 지식이 확고한 토대 위에 놓이게 하기 위한 네 가지 사고 규칙을 제시한다. 내가 진실인지 알지 못하는 어떤 것도 진실로 받아들이지 않는다. 다시 말해, 성급함과 편견을 조심스럽게 피하고, 모든 의심.. 2023. 1. 13. 아이작 뉴턴 Isaac Newton(1643~1727) 따로 설명이 필요 없는 수학자이자 과학자이다. 오늘날 아이폰으로 전 세계를 주름잡는 '애플'사도 어쩌면 뉴턴의 사과에서 비롯된 이름이 아닐까 싶다. 아이작 뉴턴의 생애는 뚜렷하게 세 시기로 구분할 수 있다. 첫 번째는 1643년부터 1669년 의장이 될 때까지의 소년 시절이다. 두 번째는 1669년부터 1687년까지 케임브리지 대학에서 루카스주의 교수로 있던 매우 생산적인 기간이다. 세 번째 기간은 런던에서 수학적 연구에 거의 관심이 없는 공무원으로 보낸 기간이다. 뉴턴은 타고난 천재는 아니었나 보다. 태어나기 세 달 전에 아버지가 돌아가셔서 교육을 제대로 받지 못해 이름도 쓰지 못했다. 어머니는 뉴턴이 2살 때 재혼해서 할머니 슬하에서 컸는데 거의 고아와 다름.. 2023. 1. 12. 가우스 칼 프리드리히 가우스(Carl Friedrich Gauss: 1777~1855). 수학자이며 물리학자인 가우스는 너무 많은 일을 하였다. 정수론, 해석학, 미분기하학, 측지학, 자기학, 천문학, 광학에서 뛰어난 업적을 남겼다. 너무 많아서 제목만 나열해도 한참 걸린다. 천재인데 노력까지 하는 사람이다. 7살 때 1부터 100까지 자연수의 합을 놀라운 통찰로 간단하게 구해서 교장 선생님인 뷔트너(Büttner)와 그의 조수인 요한 마틴 바르텔(Johann Martin Bartels) 눈에 띄었다. 1788년 가우스는 뷔티너와 바르텔의 추천으로 김나지움에서 들어가 고급 독일어와 라틴어를 배웠다. 재능을 알아본 공작에게 장학금을 받아 1792년에 브런지윅 대학에 입학했다. 1795년 보데의 법칙, 이항정리, .. 2023. 1. 11. 극한 1. 수열의 극한 수열 $\{a_n\}$에서 $n$이 한없이 커질 때, $a_n$의 값이 일정한 수 $L$에 한없이 가까워지면 수열 $\{a_n\}$은 $L$로 수렴한다고 한다. $L$은 극한값이다. 기호로는 아래와 같이 적는다. $$\lim_{n\rightarrow \infty}a_n=L$$ 또는 $$n\rightarrow\infty일\;\;때,\;\; a_n\rightarrow L$$ 엄밀한 정의 $\forall \epsilon >0$에 대하여 다음을 만족하는 자연수 $N(\epsilon)$이 항상 존재한다. $$\forall n>N(\epsilon)\;\;\Rightarrow \;\;|a_n -L|0$에 대하여 다음을 만족하는 양수 $\delta>0$가 항상 존재한다. $$\forall x\in:\.. 2023. 1. 4. 허수 어떤 실수도 아래의 방정식을 만족시킬 수 없다. $$x^2 =-1$$ 수학자들은 방정식의 해를 구하기 위해 수 체계를 확장해 왔다. 위에 있는 방정식도 해를 구할 필요가 있다. 제곱해서 음수가 되는 새로운 수를 만들기 위해 $\sqrt{-1}$을 생각할 수 있다. 제곱근으로 표현할 때 생기는 혼란을 막기 위해 오일러 이후로 문자 $i$로 허수(imaginary number)단위를 표현한다. $$i=\sqrt{-1}$$ 고대 그리스의 수학자 헤론은 거듭제곱하여 음수가 되는 수에 대한 개념을 기록한 바 있다. 1572년 이탈리아의 수학자 라파엘 봄벨리가 허수 단위를 정의하였다. 삼차방정식의 근의 공식을 찾아낸 게로라모 카르다노(Gerolamo Cardano)의 책에 개념이 등장한다. 이후 르네 데카르트가 《.. 2023. 1. 2. 미분방정식 알려지지 않은 함수와 그들의 도함수 사이의 관계를 나타내는 방정식. 미지의 함수가 일변수 함수이면 평범한 미분항만을 포함한 상미분방정식(常微分方程式, Ordinary Differential Equation; ODE)이 되고, 미지의 함수가 두 개 이상의 변수를 갖는 다변수 함수이고 편미분항들이 등장하면 편미분방정식(偏微分方程式, Partial Differential Equation; PDE)이라고 한다. $$y+2xy^{\prime}+1=0\tag{1}$$ $$\frac{\partial^2u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2u}{\partial y^2} = 0\tag{2}$$ (1)은 상미분방정식, (2)는 편미분방정식이다. 2023. 1. 2. 브라마굽타 브라마굽타(Brahmagupta : c. 598 – c. 668 CE) 인도 수학자이며 천문학자이다. 그가 628년 쓴 저서 브라마스푸타싯단타 (바르게 세운 브라마 교리)는 수학과 천문학에 관한 여러 가지 지식이 실려 있다. 브라마굽타는 방정식에서 처음으로 0 을 쓰기 시작하였다. 다른 인도 수학자처럼 산스크리트로 쓴 시로 쓰였고 증명이 없어서 어떻게 이끌어 냈는지는 알 수 없다. https://suhak.tistory.com/1445 브라마굽타(Brahmagupta) 차례 브라마굽타(Brahmagupta : c. 598 – c. 668 CE) 인도 수학자이며 천문학자이다. 그가 628년 쓴 저서 브라마스푸타싯단타 (바르게 세운 브라마 교리: 이하 [브라마스])는 수학과 천문학에 관한 여러 suhak.t.. 2023. 1. 1. 군 집합 G에서 정의된 연산 $\cdot$이 아래를 공리를 만족하면 집합 G는 연산 $\cdot$에 대하여 군(群: group)을 이룬다고 말한다. 군 $(G, \cdot )$로 적는다. 결합법칙 Associativity 모든 $a,b,c \in G$에 대하여 $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$를 만족한다. 항등원 Identity element 모든 $a\in G$에 대하여 $a\cdot e=e \cdot a=a$를 만족하는 원소 $e \in G$가 존재한다. 역원 Inverse element 모든 $a \in G$에 대하여 $a\cdot b=b\cdot a =e$를 만족하는 $ b \in G$가 존재한다. 교환법칙까지 된다면 교환군(commutative group) 또는 아.. 2023. 1. 1. 유클리드(Euclid) 그리스 이름으로는 알렉산드리아의 에우클레이데스(Εὐκλείδης)는 의 저자로 알려진 수학자이다. 원론의 그리스 이름은 '스토이케이아(Στοιχεῖα)'로 '문자'라는 뜻이다. 그리스는 같은 이름을 가진 사람이 많아서 태어난 곳으로 구별해야 하는 경우가 많다. 유클리드와 원론이 가진 명성에 비해 유클리드의 삶은 거의 알려지지 않았다. 심지어 그리스계인지 이집트계인지도 불분명하다. 플라톤과 아르키메데스 사이에 있는 시대를 살았을 것으로 추측하고 있다. 르네상스 시기에 '라파엘로 산치오'가 그린 '아테나 학당'의 오른쪽 아래에 그려진 사람을 유클리드로 보고 있다. 프톨레마이오스 왕에게 기하학을 가르쳤는데 기하학을 쉽게 공부하는 길이 없냐고 묻는 왕에게 "기하학에는 왕도가 없다."라고 말했다는 일화는 널리 알.. 2022. 12. 31. 메르센 소수 메르센은 소수를 찾는 유용한 방법을 찾는다. 먼저 소수는 아래와 같은 꼴일 것으로 추측했다. $$M(n)=2^n-1$$ 이 수를 메르센 수(Mersenne numbers)라고 한다. 메르센 수 $M(n)$이 소수이면 $n$은 소수이다. 하지만 역은 성립하지 않는다. $n$이 소수라고 해도 $M(n)$이 소수인 것은 아니다. 더보기 $n=pq$이면 $M(ab)$는 합성수임을 보이자. 메르센 수는 이항정리로 나타낼 수 있다. $$M(n)=\sum_{k=0}^n \pmatrix{n\\k}-1$$ 이항정리를 이용하여 인수분해를 하면 아래와 같다. $$\begin{split}a^n-b^n &=a^n+\sum_{k=1}^{n-1}a^{k} b^{n-k}-\sum_{k=1}^{n-1} a^k b^{n-k} - b^n.. 2022. 12. 26. 피타고라스(pythagoras) 오늘날 우리가 수학(Mathmatics)이라 부르는 것은 산수(Arithmatics)와 다르다. 고대 바빌로니아나 이집트에도 수를 계산하는 산수는 있었다. 하지만 고대 그리스는 달랐다. 피타고라스(pythagoras: c. 570 – c. 495 BC)는 정의(definition), 정리(theorem), 증명(proof)을 사용하여 세상 모든 것은 수로 만들어졌다고 주장했다. 만물의 근원은 수이다. 피타고라스 증명은 주어진 정리가 참임을 체계적으로 밝혀서 다른 모든 사람이 인정하게 만드는 것으로 수학의 본질이다. 따라서 수학은 피타고라스에서 시작되었다고 볼 수 있다. 정확하게 말하면 피타고라스를 따르는 학파가 수학을 만들었다고 볼 수 있다. 그가 남긴 발자취를 따라가 보면 이 사람이 진짜 기원전에 살았.. 2022. 12. 21. 최소공배수 최소공배수(Least common multiple(LCM))는 둘 이상의 0이 아닌 정수의 공배수 가운데 최소인 양의 정수 Least common multiple - Wikipedia Least common multiple - Wikipedia From Wikipedia, the free encyclopedia Jump to navigation Jump to search Smallest positive number divisible by two integers A Venn diagram showing the least common multiples of combinations of 2, 3, 4, 5 and 7 (6 is skipped as it is 2 × 3, both of which en.wikip.. 2022. 12. 19. 최대공약수 최대공약수(greatest common divisor (GCD))는 둘 이상의 0이 아닌 정수의 공약수 가운데 가장 큰 양의 정수. $$gcd(x,y)=m$$ Greatest common divisor - Wikipedia Greatest common divisor - Wikipedia From Wikipedia, the free encyclopedia Jump to navigation Jump to search Largest positive integer that divides two or more integers In mathematics, the greatest common divisor (GCD) of two or more integers, which are not all zero, is the .. 2022. 12. 19. 이전 1 2 3 4 5 6 ··· 10 다음
