수학사전123 부채꼴 부채꼴(circular sector)은 원의 중심에서 어떤 각을 만들었을 때, 그 각을 만드는 두 직선과 그 직선들에 의해 잘린 원의 호로 둘러싸인 도형이다. 2022. 12. 8. 활꼴 활꼴(circular segment)은 현과 호로 둘러싸인 도형이다. 2022. 12. 8. 호 호(弧: intercepted arc)는 원 둘레(circumference)를 자른 일부분이다. 2022. 12. 8. 현 현(弦: chord)은 원 위의 서로 다른 두 점을 잇는 선분이다. 현의 수직이등분선은 원의 중심을 지난다. 2022. 12. 8. 라디안(radian) 호도법 육십분법은 원 둘레를 360등분 했을 때 잘린 부채꼴 하나의 중심각을 $1^o$로 쓰는 것이다. 그런데 숫자로 같은 1이라고 쓰지만 길이에서 쓰는 $1$과 다르다. 다르게 이야기하면 육십분법으로 적은 수는 실수가 아니다. 이제 각을 길이로 나타내 보자. 1라디안은 반지름과 호의 길이가 같은 부채꼴의 중심각의 크기다. 이렇게 하면 각을 길이로 재는 것이 되므로 각의 크기가 실수가 된다. 따라서 각을 나타내는 단위를 쓰지 않아도 된다. 실수에서 실수로의 함수를 정의하기 위해 피할 수 없다. 처음엔 어려워 보이지만 각을 라디안으로 나타내는 것이 훨씬 편하다. 반지름이 $r$이고 중심각이 $180^o $인 부채꼴은 호의 길이가 $\pi r$이므로 아래와 같은 육십분법과 호도법 사이의 관계를 얻는다. $$.. 2022. 12. 8. 복소수 복소수(complex number)는 실수 $a,\;\;b$에 대하여 $a+b i$의 꼴로 나타낼 수 있는 수이다. (단, $i^2 =-1$) $i$는 허수단위로 보통 $i=\sqrt{-1}$로 나타내기도 한다. $a$는 실수부(real part), $b$는 허수부(imaginary part)로 부른다. $b=0$일 수 있으므로 모든 실수는 복소수이다. $a=0$인 복소수는 순허수라고 부른다. 실수를 모두 포함하고 있지만 실수와는 차원이 다른 수이다. 2차원 벡터와 같다. 복소평면은 뭔가 멋진 일이 일어나는 공간이 된다. 2022. 12. 8. 무리수 무리수(irrational number)는 이름 그대로 유리수가 아닌 수이다. 유리수는 정수와 정수의 비(ratio)로 나타낼 수 있는 수이다. 유리수를 유비수로 옮겨야 한다는 주장도 있다. 소수로 표현했을 때, 유리수는 유한소수나 순환소수로 나타나고 무리수는 순환하지 않는 무한소수로 나타난다. $\sqrt 2$가 가장 유명한 무리수가 아닐까 싶다. $\sqrt 2$가 무리수임을 밝히는 과정을 가장 아름다운 증명 가운데 하나로 꼽는다. $\sqrt 2$가 무리수가 아니라고 가정하자. $\sqrt 2=p/q$인 서로소인 두 정수 $p, q(\not=0)$가 존재한다. 양변을 제곱하여 정리하자. $$2q^2=p^2\tag{1}$$ $p^2$이 2의 배수이므로 $p$는 2의 배수이다. 따라서 $p=2k$인 정.. 2022. 12. 8. 실수 실수(real number)는 유리수와 무리수로 이루어진 수 체계이다. 실제로 우리가 쓰는 대부분의 물리량(길이, 넓이, 부피, 질량, 속도, 가속도)을 나타낼 수 있는 수이다. 수학 공부는 실수체를 이해하는 것에서 출발한다. 2022. 12. 8. 유리수 유리수(rational number)는 정수와 정수의 비로 나타낼 수 있는 수이다. 아래와 같이 표현할 수 있다. 임의의 정수 $a,\;\;b$ ( $b\not=0$)에 대하여 $\displaystyle{\frac{a}{b}}$꼴로 나타낼 수 있는 수는 유리수이다. 소수로 표현한다면 유한소수 또는 순환하는 무한소수로 나타난다. $$0.3=\frac{3}{10},\;\;0.444\cdots=0.\dot{4}=\frac{4}{9}$$ 비(ratio)로 나타낼 수 있다는 걸 강조하기 위해 유리수가 아니라 유비수로 불러야 한다는 주장도 있다. 합리적인(rational) 것은 정수들의 비로 나타낼 수 있어야 한다. 수학에서 주로 quotient의 머리글자를 따서 $\mathbb{Q}$로 나타낸다. 아무래도 $\m.. 2022. 12. 8. 정수 정수(integer)는 양의 정수, 0, 음의 정수로 이루어진 수 체계다. 정수를 한자로 쓰면 가지런한 수(整數)이다. 양의 정수는 자연수와 같다. 영어로는 integer이지만 독일어로 정수인 Zahl의 머리글자를 따서 $\mathbb{Z}$로 적는다. 인도와 중국 그리고 아랍에서는 일찌감치 음수를 수로 받아들였지만 유럽에서 수로 받아들이는데 상당한 세월이 필요했다. 데카르트가 음수를 좌표에 나타내기 시작하면서 수로 자리 잡았다. 2022. 12. 8. 자연수 자연수(natural number)는 개수를 셀 때 사용하는 수이다. 이름 그대로 원래부터 스스로 존재하는 수라고 생각하면 쉽다. 하지만 현대 수학은 자연수도 그대로 놓아두지 않는다. 페아노(Giuseppe Peano: 1858.8.27.~1932.4.20.)는 아래와 같은 공리(Peano's axioms)로써 자연수를 정의하였다. 아래를 모두 만족하는 집합 $\mathbb{N}$은 자연수의 집합이다. $\mathbb{N}$은 특별한 한 원소인 $1$을 원소로 가진다. ($1\in \mathbb{N}$) $\mathbb{N}$의 임의의 원소 $n$에 대하여 $n$의 다음수(successor) $n^+$도 $\mathbb{N}$의 원소다. ($\forall n\in \mathbb{N}\Rightarrow .. 2022. 12. 8. 표본공간 주사위나 동전을 던지는 경우와 같이 같은 조건에서 반복할 수 있고, 그 결과가 우연에 의하여 좌우되는 실험이나 관찰을 시행(trial)이라고 한다. 그리고 그 시행의 결과로 일어나는 것을 사건(event)이라고 한다. 어떤 시행에서 일어날 수 있는 모든 가능한 결과 전체의 집합을 그 시행에 대한 표본공간(sample space)이라고 하며, 사건은 표본공간의 부분집합이다. 주사위 하나를 던질 때 표본공간을 집합으로 표현하면 $$S=\{1,2,3,4,5,6\}$$이다. 따라서 일어날 수 있는 모든 사건은 6가지가 아니고 64가지이다. 6이라고 착각하는 이들은 대부분 원소가 하나인 근원사건(fundamental event) 만 사건으로 생각하기 때문이다. 2022. 12. 7. 사건 주사위나 동전을 던지는 경우와 같이 같은 조건에서 반복할 수 있고, 그 결과가 우연에 의하여 좌우되는 실험이나 관찰을 시행(trial)이라고 한다. 그리고 그 시행의 결과로 일어나는 것을 사건(event)이라고 한다. 어떤 시행에서 일어날 수 있는 모든 가능한 결과 전체의 집합을 그 시행에 대한 표본공간(sample space)이라고 하며, 사건은 표본공간의 부분집합이다. 주사위 하나를 던질 때 표본공간을 집합으로 표현하면 $$S=\{1,2,3,4,5,6\}$$ 이다. 따라서 일어날 수 있는 모든 사건은 6가지가 아니고 64가지이다. 6이라고 착각하는 이들은 대부분 원소가 하나인 근원사건만 사건으로 생각하기 때문이다. https://suhak.tistory.com/1438 확률의 시작! 사건이란 무엇인가.. 2022. 12. 7. 집합 집합(set)은 그 대상을 분명하게 결정할 수 있는 모임이다. 집합을 이루는 대상 하나하나를 그 집합의 원소(element)라고 한다. $x$가 집합 $X$의 원소임을 $x \in X$로 표기한다. 2022. 12. 7. 테셀레이션 테셀레이션(tesellation)은 아래 그림과 같이 모양이 같은 도형으로 평면을 빈틈없이 채우는 것이다. https://suhak.tistory.com/1368 테셀레이션 중학교 1학년 평면도형을 가르치면서 테셀레이션을 만들어 보고 있다. 지난 시간에 이어서 짧은 시간에도 꼼꼼하게 만든 학생 작품 몇 가지 올려둔다. 1. 아르키메데스 테셀레이션 2. 정사각형 suhak.tistory.com 2022. 12. 7. 이전 1 ··· 3 4 5 6 7 8 9 다음
