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글갈래150

접선 원과 직선이 한 점에서 만나면 접한다고 하고 만나는 점은 접점, 직선은 접선(tangent line)이라고 한다. 어떤 곡선과 직선이 한 점에서 만나고 교점 가까운 곳에 있는 곡선 위의 모든 점이 직선을 기준으로 같은 쪽에 있을 때 곡선과 직선은 접한다고 한다. 2022. 12. 7.
외심 삼각형에서 세 변의 수직이등분선은 한 점에서 만난다. 이 점에서 세 꼭짓점에 이르는 거리는 같다. 이 점을 외심(Circumcenter)이라고 한다. 외심을 중심으로 세 꼭짓점을 지나는 외접원(circumscribed circle)을 그릴 수 있다. 2022. 12. 7.
내심 삼각형에서 세 각의 이등분선은 한 점에서 만난다. 이 점에서 삼각형의 세 변에 이르는 거리가 모두 같다. 이 점을 삼각형의 내심(incenter)이라고 한다. 2022. 12. 7.
공리 '삼각형의 내각의 합은 180도이다.'는 참인 명제다. 이 명제가 참임을 증명하려면 '평행한 두 직선과 다른 한 직선이 만날 때 생기는 엇각과 동위각이 서로 같다.'는 명제가 참이라야 한다. 엇각과 동위각은 왜 같아야 하는가? 평행선이란 무엇인가? 이처럼 거슬러 올라가다 보면 처음 출발이 되는 명제를 만난다. 아래는 수학사에서 가장 유명한 유클리드의 다섯 번째 공준인 평행선 공준이다. 두 직선과 한 직선이 만날 때 있는 두 직선을 한없이 늘리면 같은 쪽에 있는 내각을 더해서 직각 둘(180도)보다 작은 쪽에서 만난다. 이런 명제는 증명없이 스스로 참이라고 인정해야 한다. 공리(axiom)는 증명없이 스스로 참이라고 받아들여야 하는 명제다. 유클리드 '원론' 이후로 수학자들은 늘 엄밀함을 추구하였다. 그래.. 2022. 12. 7.
명제 명제(proposition)는 참과 거짓을 분명하게 구별할 수 있는 문장이나 식이다. 예를 들면 '삼각형의 내각을 모두 더하면 180도이다.'는 참인 명제이고 '이등변 삼각형은 세 각의 크기가 모두 같다.'는 거짓인 명제다. 어떤 명제가 참임을 보이기 위해서 이미 참임을 알고 있는 명제가 필요하다. 그런데 자꾸 거슬러 올라가다 보면 맨 처음 출발이 되는 참인 명제가 있어야 한다. 그 명제는 다른 명제로 증명하지 않고 그 자체로 참인 것으로 인정해야 한다. 그 스스로 참인 명제를 공리(axiom)라고 한다. 2022. 12. 7.
로그(logarithm) $a>0,\;\;a\not= 1$일 때, $a^x=b$를 만족하면 $x$를 $a$를 밑으로 하는 $b$의 로그라고 하고 $x= \log_a b$라고 적는다. 로그를 처음으로 고안한 네이피어가 사용한 방정식은 아래와 같다. $$N=10^7 (1-10^{-7})^L$$ 네이피어는 처음에 L을 "인공수"(artificial number)라고 부르다가 비율을 의미하는 "로그"(logarithm)라는 이름으로 소개했다. 그리스어 λόγος(logos)는 '부분'을 의미하며, ἀριθμός(arithmos)는 '숫자'를 뜻한다. 현대적 표현법으로 나타낸 자연로그와의 관계는 다음과 같다. $$L=\log_{1-10^{-7}} \frac{N}{10^{7}}\approx 10^7 \log_{\frac{1}{e}}\fra.. 2022. 12. 7.
지수 지수(exponent 또는 power)는 거듭제곱에서 출발한다. 자연수 지수일 때는 밑을 곱한 개수를 나타내므로 말 그대로 자연스럽다. 지수를 확장해서 정수, 유리수, 실수인 경우를 정의한다. $a>0,\;\; a\not=1$일 때, $a^n$에서 $a$는 밑이고 $n$은 지수이다. 영어로 읽는 법: "$a$ raised to the power of $n$", "$a$ to the $n$-th power" 지수는 영어로 exponent 또는 power이다. 2022. 12. 7.
거듭제곱 제곱은 '저의 곱'을 줄인 말로 같은 수를 두 번 곱하는 것이다. 거듭제곱은 같은 수를 두 번 이상 되풀이하여 곱하는 것을 간단하게 표현하는 것이다. 이때 곱해지는 수를 밑으로 곱해진 개수를 지수로 써서 표현한다. $$2\times 2\times 2=2^3$$ 데카르트가 처음으로 어떤 수 $a$의 거듭제곱을 밑과 지수를 써서 $a^2, \;a^3 ,\; a^4,\cdots$로 표기하였다. 문화어로는 어깨수이다. 영어: 지수(exponentiation) 2022. 12. 7.
각뿔 각뿔은 다각형인 밑면(base)과 꼭대기점(apex)을 연결한 다면체이다. 아래 그림은 사각뿔이다. 꼭대기점에서 밑면에 내린 수선의 발이 밑면의 무게중심(centroid)이면 정각뿔(right pyramid)이고 아니면 빗각뿔(oblique pyramid)이다. 밑면이 정다각형인 정각뿔을 정다각뿔(regular pyramid)라고 부른다. 각뿔대(frustum: 라틴어 조각에서 온 말)는 각뿔을 평행한 두 평면으로 잘라서 만든다. https://en.wikipedia.org/wiki/Frustum Frustum - Wikipedia From Wikipedia, the free encyclopedia Jump to navigation Jump to search Portion of a solid that l.. 2022. 12. 6.
순환소수 분수 꼴의 유리수는 분자를 분모로 나누어 소수로 나타낼 수 있다. 소수점 아래 0이 아닌 숫자가 유한 번 나타나면 유한소수, 무한 번 나타나면 무한소수라고 한다. 소수점 아래의 어떤 자리에서부터 하나 또는 몇 개의 숫자의 배열이 한없이 되풀이되는 무한소수를 순환소수라 하고 이때 되풀이되는 가장 짧은 한 부분을 순환마디라고 한다. 예를 들어 $0.3333\cdots$의 순환마디는 $3$이고 $0.1235235235\cdots$의 순환마디는 $235$이다. 아래와 같이 순환마디 처음과 끝에 있는 숫자 위에 점을 찍어서 적는다. $$0.3333\cdots=0.\dot{3},\;\;0.1235235235\cdots=0.1\dot{2}3\dot{5}$$ 2022. 12. 6.
다항식 수나 문자가 곱셈으로만 연결된 식을 단항식(monomial) 또는 항이라고 하고 항이 합이나 차로 연결된 식을 다항식(polynomial)이라고 한다. $2x^2 y=2\times x \times x\times y$와 $\displaystyle{\frac{3xy}{2}=\frac{3}{2}\times x\times y}$이므로 단항식이지만 $\displaystyle{\frac{x}{y}=x\div y}$이므로 단항식이 아니다. 나눗셈으로 연결되었으므로 분수식으로 분류해야 한다. 단항식에서 문자가 곱해진 개수를 차수라고 한다. 특정한 문자를 제외한 나머지를 계수라고 한다. $3ax^2 y$의 차수는 4차이다. $x$에 대한 차수는 2차이고 계수는 $3ay$이다. $$2x^3 +2x^2 -3x+5$$ 위 다.. 2022. 12. 6.
소수와 소수 사람들은 1보다 작은 수를 나타내기 위해서 분수를 먼저 쓰기 시작했다. 분수는 계산이 매우 불편하다. 분모가 10의 거듭제곱인 분수 꼴로 나타내면 불편함을 덜 수 있다. 유럽에서 오늘날처럼 0.753처럼 소수점을 써서 소수(小數:decimal number)를 표기하기 시작한 것은 16세기에 이르러 네덜란드 수학자 스테빈이 시작하였다. 군에서 회계를 맡은 스테빈은 이자율 계산을 많이 하였다. 그 당시에는 단위분수만을 사용하였기 때문에 1/10은 간단했지만 1/11, 1/12와 같은 경우는 계산이 매우 복잡했다. 그래서 스테빈은 더 쉽게 계산할 수 있는 방법을 고민하였다. 1/11은 91/1000의 값과 거의 같으니까 9/100로 바꾸어 쓰고 1/12의 경우 8/100의 값과 거의 같으니까 8/100로 쓰곤.. 2022. 12. 6.
각 각(angle)은 한 점에서 시작하는 두 반직선으로 이루어진 도형이다. 이때 공통된 점은 각의 꼭짓점, 두 반직선은 각의 변이라고 부른다. 아래 그림과 같은 도형을 각 $AOB$라고 한다. 기호로는 $\angle AOB$ 또는 $\angle O$로 쓴다. 점 $O$는 각의 꼭짓점(vertex)이고 두 반직선 $OA$와 $OB$는 각의 변(side)이다. 두 각이 포개어 일치하면 '크기가 같다.' 또는 '합동' 이라 한다. 각의 크기는 변의 길이와 무관하다. 두 직선이 만날 때는 각이 네 개가 생긴다. 이들을 교각이라 한다. 이때 마주 보는 각은 맞꼭지각(pair of vertical angles)이라고 한다. 맞꼭지각은 서로 같다. 이웃하는 각이 같을 수도 있다. 두 직선이 만날 때, 이웃하는 각이 서로.. 2022. 12. 6.
분수 문명이 발달하면 1보다 작은 수를 써야 한다. 약 4000년 전에 이집트인은 분수(fraction)를 쓰기 시작했다. 이집트인은 분자가 1인 단위분수를 사용하였다. 아마도 어떤 것을 여럿이 나누어 가지는 양을 나타내기 위해 쓰기 시작한 것으로 보인다. 분자가 1이 아닌 분수는 단위분수들의 합으로 나타냈다. $$\frac{5}{8}=\frac{1}{2}+\frac{1}{8}$$ 시작은 1보다 작은 수를 나타내기 위해서였지만 개념을 넓혀서 나눗셈을 간단하게 표현한 것을 모두 분수라고 본다. 즉, 어떤 수 $a$를 0이 아닌 수 $b$로 나눈 수 $$a\div b=\frac{a}{b}$$가 분수다. $a$는 분자, $b$는 분모라고 부른다. 분모와 분자가 모두 자연수이거나 정수인 것이 익숙하다. 때로는 분모와.. 2022. 12. 6.
가분수 전체인 1을 나눈 양을 나타내기 위해 분수를 쓰기 시작했다. 따라서 분수는 0보다는 크고 1보다는 작은 것이 이치에 맞다. 하지만 널리 쓰이다 보면 개념은 확장되기 마련이다. 분수도 마찬가지다. $$\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}$$ 위와 같은 수도 나타낼 필요가 있다. 1보다 작은 분수는 진분수(진짜분수)로 1보다 큰 분수를 가분수(improper fraction)라고 한다. $$\frac{5}{3}$$ 수학에서 improper는 주로 '이상'으로 옮긴다. 예를 들면 'improper integral'은 '이상적분'으로 옮긴다. https://suhak.tistory.com/1478 분수의 역사 어린 시절 수를 처음 배울 때, .. 2022. 12. 6.

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